W dniach 3-5 marca 2016 r. byłem w Gdyni na warsztatach matematycznych, przeznaczonych dla stypendystów Krajowego Funduszu na Rzecz Dzieci. Warsztaty przeznaczone były dla uczniów od VI klasy szkoły podstawowej i pierwszych dwóch klas gimnazjum. Postanowiłem przerobić z nimi zadanie które w wersji

Marysia jest dwa razy starsza, niż Ania była wtedy, gdy Marysia była dwa razy młodsza, niż Ania będzie, gdy będzie trzy razy starsza niż Marysia, gdy była trzy razy starsza od Ani. Ile lat mają dziewczynki (panie?), jeżeli suma ich lat jest równa 44?

przysłała mi kilka dni wcześniej znajoma z płn. zach. krańca Polski.

Na zajęcia zaprosiłem i rodziców. Byli zszokowani, gdy przeczytałem im zadanie; świadomie opuszczając ostatnią daną (o sumie lat).

Odezwałem się do uczniów (a naprawdę było to do rodziców, niech wiedzą, czym szpikujemy ich dzieci): Z pewnością odpowiesz, że nie umiesz rozwiązać, a może i pomyślisz (a jeśli Ty nie, to Twoi rodzice na pewno): a cóż to za głupie zadanie?  Przecież nawet treści nie da się zrozumieć!!!

No więc, nie będę rozwijać tematu „głupie, czy nie”. Na pewno jest sztucznie wymyślone, spreparowane. Ale większość zadań z matematyki jest taka. Na razie spróbujmy rozwiązać. Od razu powiem, że sądzę, że powiesz na końcu: ojej, jakie to było fajne, łatwe i nietrudne…

Na pewno znasz jakiegoś wielkiego sportowca. Odwołam się tutaj do Kamila Stocha, dwukrotnego złotego medalisty Igrzysk Olimpijskich. Czy myślisz, że od razu zaczął skakać na Wielkiej Krokwi? Nie, najpierw z małych pagórków i mniejszych skoczni. Dopiero po kilku latach trener pozwolił mu „skacz!” I my też zaczniemy od prostszego zadania:

Marysia jest trzy razy starsza od Ani. Kiedy będzie dwa razy starsza?

Ledwie skończyłem pisanie treści na tablicy, a już podniosło się kilka rąk. Wybrałem najmniejszego chłopca. Ze swadą i pewnego rodzaju belferską wprawą (?!) zaczął pisać (na dole tablicy, bo wyżej nie sięgał) i wyjaśniać:

Oznaczę przez a i m wiek obu dziewcząt. Mam m=3a. Niech upłynie x lat. Marysia ma wtedy m+x  lat, Ania a+x. A zatem [tak się wyraził, słowo daję!, M.Sz.] będzie m+x = 2(a+x). Z tych dwóch równań… (i tu niezbyt wprawnie, ale poprawnie rachował, zorientował się, że popełnił błąd w znaku, poprawił, M.Sz.) otrzymujemy x = a. Wziął to w ramkę, odwrócił się do klasy i powiedział: Marysia będzie dwa razy starsza od Ani po upływie tylu lat, ile ma teraz Ania. To wszystko, co się da stąd obliczyć.

Dawniej powiedziałbym, że „zamieniłem się w słup soli, jak żona Lota”. Dzisiaj mówi się: „szczęka mi opadła”. Rozumiecie? zapytałem klasę. Nie wierząc aplauzowi, wywołałem do tablicy Kamilę. Potwierdziła, że rozumie. No, to dałem jej następne zadanie treningowe (treść pojawiła się na ekranie). Poleciłem odczytać głośno:

Ania i Marysia ( a może  Anna i Maria ? ) mają w sumie 52 lata. Ania ma cztery razy tyle lat, ile miała Marysia, gdy była trzy razy starsza od Ani. Ile lat ma każda z tych dziewczyn?

Nie chcąc dopuścić do tego, by Kamilka się zanadto zestresowała, narzuciłem sposób rozwiązania. Wskaż, Kamilo, gdzie jest w tym zadaniu przeszłość i teraźniejszość. Nie rozumiesz? No, co było kiedyś, to przeszłość „Aha”, powiedziała Kamila i wskazała poprawnie. Poleciłem podkreślić przeszłość: Ania i Marysia (a może  Anna i Maria?) mają w sumie 52 lata. Ania ma cztery razy tyle lat, ile miała Marysia, gdy była trzy razy starsza od Ani. Ile lat ma każda z tych dziewczyn?

I już Kamila chciała ułożyć równanie, ale powiedziałem: spróbujmy inaczej. Kiedyś było tak:
Marysia ♦♦♦♦
Ania ◊
Dzieci w mig zrozumiały konwencję. Potwierdziłem: wiek Marysi będziemy oznaczać czarnymi kwadracikami, Ani białymi. Kwadracik to niekoniecznie jeden rok! Dalej rozumowali sami, ja kontrolowałem. Płynął czas. Ania w pewnym momencie będzie miała cztery razy ♦♦♦, czyli
◊◊◊
◊◊◊
◊◊◊
◊◊◊
Marysia wtedy dwa lata więcej, czyli
♦♦♦
♦♦♦
♦♦♦
♦♦♦
♦♦
W sumie mają (będą mieć)
◊◊◊
◊◊◊
◊◊◊
◊◊◊

♦♦♦
♦♦♦
♦♦♦
♦♦♦
♦♦

Widać stąd, że każdy kwadracik to 2 lata. Pani Maria ma 28 lat, pani Anna 24.

Do tablicy wyrywał się chłopiec ze Stróży, zapomniałem jego imienia. Wręczyłem wszystkim kartki z wyjściowym zadaniem. Poleciłem zaznaczyć cztery momenty, o których opowiada zadanie. Było z tym trochę kłopotów, ale w końcu na tablicy mieliśmy coś takiego:

Marysia jest [chwila nr 4] dwa razy starsza, niż Ania była wtedy, gdy [chwila 3] Marysia była dwa razy młodsza, niż Ania będzie, gdy będzie [chwila nr 2]  trzy razy starsza niż Marysia, gdy była [chwila nr 1] trzy razy starsza od Ani.

I teraz … ledwo mogłem zapanować nad klasą, wszyscy chcieli rysować na tablicy kwadraciki.  Rodzice byli zaskoczeni, albo może nie do końca nadążali za tokiem myślenia i zachowaniem swoich dzieci, które wyrywały sobie kredę z ręki, aż musiałem interweniować. Pojawiło się na tablicy mniej więcej coś takiego

  • Chwila 1: Marysia  ◊◊◊, Ania A ♦
  • Chwila 2: Ania trzy razy więcej niż Marysia w chwili pierwszej, czyli ♦♦♦♦♦♦♦♦♦
  • Chwila 3: Marysia dwa razy mniej niż Ania w chwili 2, a zatem ◊◊◊◊ θ, gdzie θ oznacza połówkę dużego. W tej chwili Ania miała ♦♦♠
  • Chwila 4. Marysia ma dwa razy więcej niż Ania w chwili 3. To znaczy Marysia ma ♦♦♦♦♦, Ania o dwa mniej, czyli ◊◊◊. Niezależnie od sumy wieku dziewczynek (dziewczyn, pań) , stosunek wieku Marysi do wieku Ani jest równy 5:3. Stąd możemy sobie wszystko powyliczać…

„Ojej, to takie proste” – dziwili się rodzice bardziej niż uczniowie. „Przecież ja bym myślał tydzień nad tym i nie rozwiązał, odezwał się pewien tatuś-inżynier”.

***

Czy jest to „zadanie bez sensu?” Otwieram dyskusję. Ci, którzy powiedzą, że oczywiście TAK (tzn. nie mąćmy dzieciom w głowach pustymi problemami), powinni się zastanowić nad celowością takich zadań i działań:

  1. W poniedziałek o godzinie 12 w południe podług czasu miejscowego z miasta A wychodzi pociąg pospieszny, przebywający po sześć mil na godzinę, i  dąży w kierunku miasta B, leżącego na zachód od A na tymże równoleżniku. Pociąg przybywa do B w czwartek o godzinie 7:26 rano podług czasu miejscowego (B). Jaka jest odległość między A i B, jeżeli pociąg nie zatrzymuje się na przystankach i  o co mila, wskutek biegu w kierunku zachodnim, zyskuje 22 sekundy (Stanisław Michalski, Nowy zbiór przykładów i zadań algebraicznych, 1920)
  2. Oblicz:(z tego samego zbiorku)
  3. Cegła waży kilo i pół cegły. Ile waży cegła?
  4. Wykaż, że wśród dowolnych czterech kolejnych liczb naturalnych większych niż 11, znajdzie się zawsze liczba podzielna przez liczbę pierwszą większą niż 11
  5. Rozwiąż równanie x2 – 5x + 6 = 0
  6. Wykaż, że trzy proste, łączące wierzchołki trójkąta z punktami styczności okręgu wpisanego w trójkąt, przecinają się w jednym punkcie
  7. Sudoku i krzyżówki; oglądanie meczów, gdzie zawodnicy kopią piłkę, zamiast chwycić ją w rękę, bo to tego służą ręce
  8. Czytanie poezji
  9. Słuchanie muzyki (muzyki, a nie podprogowego łomotu)
  10. Życie