W edukacji ważnym elementem jest relacja między uczniem i nauczycielem. Jeżeli mówimy o edukacji matematycznej, która wielu osobom kojarzy się z „suchymi liczbami”, to możemy tę naukę uprzyjemnić opowiadaniem historyjek, czyli jak przyjęło się teraz mówić, zastosować storytelling. Ucząc matematyki, będziemy opowiadać historyjki „z życia wzięte”, a one pomogą nam zbudować pozytywne relacje z uczniami. Dzieci, zwłaszcza te młodsze, bardzo lubią słuchać opowieści i zaraz chcą się dzielić swoimi historyjkami. Ożywiają się, a te liczby, o których rozmawiamy, zaczynają być dla nich interesujące. 

Mamy taki czas, że dzieci dużo siedzą w domu – więc opowiadajmy im historyjki z matematyką w tle. Nauczycielom przygotowującym „zdalne zadania” dla uczniów, a także rodzicom, którzy znajdą czas na wspólną zabawę z dzieckiem, polecamy zadania przygotowane przez prof. Michała Szurka.  

Łamiemy całość na kawałki. Ułamki to dziwne liczby. Nawet zapis mają niesympatyczny, coś na górze, coś na dole. Oczywiście wiesz, że na górze (nad kreską)  jest licznik, na dole (pod kreską) mianownik i że mianownik nie może być zerem. Staraj się pisać ułamki tak, żeby kreska ułamkowa celowała równo między obydwie kreski od znaku równości. Oceń, czy edytor, którym piszę ten tekst, dba o to:  

A właśnie,  dwie dziewiąte. Dzielimy całość (cokolwiek by nią było) na dziewięć różnych części i bierzemy dwie takie części. Niekiedy producenci serków topionych pakują je w okrągłe pudełka po sześć albo osiem „ząbków”. Mogliby i po dziewięć, ale jakoś im to nie przychodzi do głowy.

 

Wspólny mianownik to podstawa porozumienia. Wiemy, jak trudno dodawać ułamki.  Trzeba je sprowadzić do wspólnego mianownika. Przypomnijmy, jak to się robi:

Rysunek 3 pokazuje, dlaczego wspólny mianownik jest potrzebny. To tak, jakby Portugalczyk i Czech uzgadniali, w jakim języku będą rozmawiać.

Mnożenie i dzielenie ułamków jest formalnie łatwiejsze, chociaż uczniowie mają kłopoty ze zrozumieniem regułki, wkuwanej na pamięć: aby podzielić ułamki, należy ten pierwszy pomnożyć przez odwrotność drugiego. Niby to prawda, ale …

Czasami pomaga zapomniane „dzielenie przez mieszczenie”.

Spójrz na rysunek 4, porównaj go z rys. 1

Fizycy mają takie powiedzenie,  oczywiście żartobliwe: nigdy nie bierz się do obliczeń, jeśli nie znasz odpowiedzi. Ma to jednak sporo sensu – chodzi o pewne wyczucie wyniku. Jeżeli z obliczeń wyjdzie nam, że biegun północny jest 114 km od Warszawy, to na pewno pomyliliśmy się w rachunkach.

Ale w starszych klasach obliczenia mogą być naprawdę żmudne:

Sama nazwa „ułamek” pokazuje, co to za liczba. To liczba połamana, nie całkowita. „Ułam mi kawałek czekolady” prosi Ala. „Jaki kawałek?” pyta Tomek. „A, tak na oko, może być siedem dwudziestych czwartych”.

Poradź Tomkowi, co ma zrobić, gdy Ala poprosi o trzy siódme tabliczki czekolady. Rozważ zadanie teoretycznie …i praktycznie.

Teoria i praktyka. Tak naprawdę to nawet dziecko dwojga matematyków nie poprosi o „trzy siódme” tabliczki czekolady. W sklepie ekspedientka zapyta „to właściwie ile?” , gdy będziemy chcieli kupić jedną trzecią kilograma sera.  Na stacji benzynowej nie usłyszymy, że paliwo podrożało o jedną dwustutrzydziestą, a gdy okaże się, że jechaliśmy za szybko, policjant nie powie, że „przekroczył pan limit o czterdzieści trzy piąte kilometra na godzinę”.

Przetłumacz zdania napisane powyżej na potoczny język. O ile czekolady poprosi dziecko, co należy powiedzieć ekspedientce, ile kosztuje paliwo, jeżeli z 4 zł 60 gr podrożało o jedną dwustutrzydziestą, oraz o ile jechaliśmy za szybko?

Refleksje dla nauczycieli.  Może by w ogóle zrezygnować z ułamków zwykłych (tych z licznikiem i mianownikiem) i uczyć tylko o ułamkach dziesiętnych? Za argument, że jednak tak nie należy, niech wystarczy, że próbowano tak robić  kilku krajach, między innymi w niektórych szkołach w USA  i w Związku Radzieckim w latach dwudziestych XX wieku.  W latach trzydziestych wrócono do tradycji. Pojęcie ułamka jako części całości jest istotne w naszym rozwoju umysłowym.

Matematycy nazywają ułamki takie, jak    liczbami wymiernymi. Mianownik i licznik mają być liczbami całkowitymi. Tak, że nie jest liczbą wymierną.

Ułamki niewłaściwe. Wróćmy jeszcze do czekolady „Mamo, ja chcę sześć piątych tabliczki, a Tomek mówi, że to niewłaściwe zachowanie…” – to może właśnie dlatego ułamki, które są większe od jedności, nazywamy niewłaściwymi.

Skracanie. Potocznie każdy powie „skróć ułamek”. Poprawne określenie to „uprość”, ale skracanie już nam weszło w nawyk. Tym niemniej dostosuj się do nauczyciela, jeżeli będzie wymagał, by ułamki upraszczać, a nie skracać. Równocześnie apeluję do nauczycieli: pozwólmy uczniom skracać ułamki, a nie upraszczać.

 Umiesz skracać, o przepraszam, upraszczać  ułamki, prawda? Czy wiesz, jak się nazywa ułamek, którego już skrócić się da? Nieskracalny. Logiczne, prawda?

Zadanie 1. Skróć ułamki:   

Zadanie 2. Rozpoznaj ułamki nieskracalne:  

Zadanie 3. Ułamki    bardzo łatwo skrócić – wystarczy skreślić szóstki w licznikach. Czy uważasz, że odkryłeś nowy, prostszy sposób skracania ułamków i warto go rozpropagować?

Zadanie 4. Skróć (to znaczy uprość)  ułamki:

Próbowałeś? I co? Nie udało się? Nie przejmuj się, specjalnie tak dobrałem liczby, żeby było trudno – a właściwie żeby Ci znów pokazać, jak skomplikowane jest rozkładanie liczb na czynniki pierwsze. Jeżeli te czynniki są niewielkie, to i zadanie jest nietrudne. Ale jeśli w grę wchodzą większe liczby, to już gorzej.

Zadanie 5. Sprawdź, że cztery pierwsze cztery ułamki z zadania 4 są równe 

Jak? Owszem, potrzebny będzie kalkulator. Ale nie obliczaj tych wartości, dzieląc po prostu 37 przez 57 i tak dalej. Kalkulator pokaże ci wartości przybliżone i nie będzie wiadomo, czy i równość nie będzie przybliżona. No, to jak to zrobić? Spójrz (jeśli nie wiesz od razu):

Jak może wiedziałeś, nazywa się to mnożeniem krzyżowym: licznik pierwszego ułamka razy mianownik drugiego i na odwrót.

Zadanie 6.  Napiszę osiem ułamków:

Które z nich są nieskracalne? Skróć te, które są skracalne i zaobserwuj ciekawe układy liczbowe? Jakie? Gdzie? No, to ty masz je zaobserwować!

Zadanie 7. Sprawdź, czy

Komentarz. Przeczytaj i zastosuj do (niektórych) pozostałych ułamków z tego zadania. Spójrz na równość

na razie podejrzaną, bo właśnie pytanie jest, czy jest ona prawdziwa? Przekonam cię o tym na kilka sposobów. Pierwszy przez mnożenie krzyżowe. Czy iloczyn 1024·2049 może być równy 1025·2048 ? Oczywiście, że nie. Ostatnią cyfrą iloczynu 1024·2049 jest 6 , ostatnią cyfrą iloczynu 1025·2048 jest zero. No, to jakże te liczby mogłyby się równać? Ale oto drugi sposób, sprytniejszy, trochę trickowy. Różnica między licznikiem a mianownikiem jest i tu i tu jeden. Ale gdy liczby są coraz większe, to owa stała różnica (jeden) ma coraz mniejsze znacznie. Jeżeli masz 2 złote i zgubisz złotówkę, to może to być istotna strata.   Gdy masz 10000 złotych i stracisz złotówkę, raczej się tym nie przejmiesz. A więc ułamek 2048/2049  jest trochę bliższy jedności niż 1024/1025. Na pewno ułamki te różnią się.

A oto i trzeci sposób, wykorzystujący pewne „wyczucie liczbowe”, którego może jeszcze nie masz. Co to za liczba 1024? Bardzo ważna w informatyce, to 2 do potęgi dziesiątej. No a 2048?  Oczywiście, 2 do potęgi jedenastej, dwa razy większa. Same dwójki. Ułamki

są zatem nieskracalne. Dlaczego? No jak to, w licznikach wszystkie czynniki to 2, a w mianownikach żadnej dwójki być nie może. Dlaczego? Jak to dlaczego? Czy 1025 i 2049 mogą mieć dwójkę jako czynnik? No jasne, że nie, kto to widział, żeby liczba nieparzysta dzieliła się przez dwa?

 

Do wykorzystania zadań zaproponowanych przez prof.Michała Szurka dla potrzeb rozwijania myślenia matematycznego, zaprasza Krystyna Kolendo-Dzięgielewska (nauczycielka matematyki i informatyki w gdańskiej szkole podstawowej).

Patrząc na prostokąt na rys.1 pomyślałam, że jeżeli 2/9 składają się z 8 jednakowych kwadratów, to oczywiście 1/9 to będą cztery kwadraty i zaraz przypomniała mi się świetna układanka logiczna Tetris (poszukajcie na Google), ale ona powstała na bazie wcześniejszej układanki pentomino. Jednostką w pentomino jest 5 kwadratów przylegających do siebie bokami. Czy wiecie, że z 5 przylegających kwadratów można ułożyć aż 12 różnych kształtów? Sami spójrzcie.

Rys. 6. Pentomino, ale brakuje 8 kształtów, czyli macie zadanie do wykonania.

Widzicie 4 pierwsze kształty, a sami narysujcie 8 pozostałych. Każdy kształt jest 1/12 całości (ach te ułamki). Razem zajmują powierzchnię równą 60 jednostek (jednostką jest pojedynczy kwadrat). I teraz najciekawsze. Z tych 12 kształtów można ułożyć prostokąt o wymiarach 6×10 kwadratów aż na 2339 sposobów! A prostokąt o wymiarach 3×20 kwadratów już tylko na 2 sposoby. To teraz zachęcam do zabawy. Wytnijcie sobie 12 kształtów (najpierw musicie dorysować te brakujące) i spróbujcie ułożyć prostokąt 6×10. Gwarantuję świetną zabawę.