Sześcian to taka równa kostka. Ma osiem dość ostrych szpiców (matematycy mówią na nie: wierzchołki), wiele krawędzi (aż dwanaście) no i sześć ścian. Każda ściana styka się z czterema innymi, a więc nie styka się tylko z jedną – to ściany przeciwległe. Twój pokój pewnie nie ma kształtu sześciennego, ale potrafisz wskazać ściany przeciwległe, prawda? A co jest „ścianą” przeciwległą do podłogi? Ładną i równą kostkę drewnianą trudno zrobić (fot. 1).

Fot. 1.
Łatwiej jest budować sześcian i inne bryły z kwadratów, trójkątów i innych wielokątów – jeśli mają one specjalne zaczepy. Takie są klocki Reko (fot. 2). Nieźle prezentują się na balustradzie mojego balkonu (fot. 2).


Fot. 2. Klocki Reko. W zestawie mamy kilkadziesiąt takich elementów.
Zbudujmy coś. Zacznijmy właśnie od sześcianu.
Zadanie 1. Weź sześć kwadratowych klocków i zbuduj sześcian. Jeśli masz w zestawie dwa kolory kwadracików, weź trzy czerwone i trzy żółte.
Zadanie 2. Ile kwadratowych klocków zużyłem na sześcian, który widzisz na fot. 3 ? Spójrz: mały sześcianik, który zbudowałeś w zadaniu 1 , miał krawędzie takie, jak bok kwadracika. Mój ma krawędzie cztery razy dłuższe. To, co zużyłem na budowę cztery razy więcej klocków niż Ty w zadaniu 1 ? No nie, coś się nie zgadza. Cztery razy sześć to jest 24, a na pewno widzisz, że musiałem wziąć znacznie więcej klocków. Policzmy wobec tego. Na jedną ścianę wypada szesnaście „oczek”, to na sześć ścian… Ile to jest sześć razy szesnaście? No tak, 96, dziewięćdziesiąt sześć. A gdybym budował jeszcze większą kostkę, powiedzmy o krawędzi 5, to ile musiałbym wziąć klocków?

Fot. 3. Sześcian z klocków Reko wśród niezapominajek w moim ogródku.
Na lekcjach szkolnych będziesz mieć zadanie, jak w sześcianie umieścić sześciokąt (będzie to trochę inaczej napisane). Tu możesz zobaczyć. Przeciągam sznurek przez środki krawędzi. A gdybym chciał mieć trójkąt równoboczny?
Zadanie 3. Mam tak dużo zestawów klocków, że jest w nich razem 600 kwadracików. Jakiej wielkości sześcian mogę z nich zbudować?
Zadanie 4. Będzie trudne, ale co to dla Ciebie trudne zadanie? Rozwiążesz! Najpierw wróć do małego sześcianiku – tego najmniejszego, który można ułożyć z sześciu kwadratów. Ile razy musiałeś je łączyć? Inaczej: ile złączeń jest potrzebnych na taki sześcian? Możesz prosto policzyć, bo to całkiem nietrudne, ale chodzi mi o to, byś to policzył sprytnie. Tak, żeby to się dało zastosować do dużych sześcianów.
No, to może tak. Każdy kwadracik łączę z czterema. Sześć kwadracików, a więc 24 złączenia. Ale… odwołam się do sportu. Jeżeli Polonia gra z Legią, to Legia gra z Polonią. Jeden mecz. Tutaj jest podobnie. Jeżeli jeden kwadracik łączę z drugi, to drugi łączę z pierwszym. Co to znaczy? To znaczy, że mamy nie 24 złączenia, a dwa razy mniej, czyli 12. Tyle, ile krawędzi.
A teraz pytanie, o które mi chodzi w tym zadaniu. Ile złączeń potrzeba na większe sześciany? Rozwiążę dla sześcianu o dwa razy dłuższych krawędziach. Ale wiesz co – może najpierw zbuduj taki sześcian (taki, jak fot. 3). Sześć ścian, w każdej po cztery kwadraciki. Wtedy łatwiej zrozumiesz. Krawędzi jest tyle, ile było – dwanaście. Każda ma dwa łącza. To razem 24. Ale mamy jeszcze łączenia w ścianach – w każdej po cztery. Daje to razem 24 + 24 = 48 złączeń. Cztery razy więcej. Jeśli nie zbudowałeś kostki, to może spójrz na rysunek 5 i policz tam. A może podasz wzór całkiem ogólny. Ile złączeń potrzeba na zbudowanie sześcianu o krawędzi długości n ?

Fot. 4. Sześcian o rozmiarach 4 na 4 na 4. Każda ściana składa się z 16 kwadracików.
Matematycy mówią, że sześcian powstaje ze specjalnie skonstruowanej siatki. Też będzie (albo było) o tym w szkole. Jeżeli nie wiesz, co to jest siatka sześcianu, zaraz się dowiesz. Spójrz na fot. 5. Co powstanie z tego krzyża, gdy go odpowiednio złożę? Co to znaczy „odpowiednio”? Po prostu to, żeby dał się złożyć do ładnej bryły. Na pewno wiesz. To siatka sześcianu z fot. 4.

Fot. 5. Najbardziej popularna siatka sześcianu – sześć kwadratów w formie krzyża.

Fot 6. Co się z czym złączy?
Zadanie 5. Jeżeli rozwiążesz, toś zuch. Przy składaniu sześcianu z siatki robimy wiele złączeń (a ile?). Zaznacz na fot. 6, które punkty z którymi się łączą (np. pomaluj je tym samym kolorem albo oznacz tą samą literą).
Zdaję sobie sprawę, że możesz nie mieć aż tylu klocków, by zbudować tak dużą siatkę, jak mi się udało. Nic nie szkodzi, zbuduj mniejsze sześciany – takie, od których zacząłeś, z sześciu „oczek”. Zbudowałeś? To rozłóż z powrotem, ale tak, by otrzymać siatkę! Ile takich siatek możesz otrzymać? Spróbuj. Jedną już znasz – krzyż. Rozłóż zbudowany sześcian tak, by dostać krzyż. A teraz złóż na nowo i rozłóż do innej siatki. Potem jeszcze raz i jeszcze raz i jeszcze raz… Jak długo? Aż wyczerpiesz wszystkie możliwości – ułożysz wszystkie możliwe siatki. Może Ci się to znudzi, więc podaję Ci wszystkie. Jest ich jedenaście. Spróbuj zbudować sześcian z każdej z nich.

Fot. 7. Jedenaście możliwych siatek sześcianu.
Zadanie 6. Nazwij te siatki. Co to znaczy? Ja też nie całkiem wiem. Wykaż się wyobraźnią. Ale popatrz na dwie z nich, na fot. 8 Czy po lewej stronie nie widzisz maszerującego ludzika? Po prawej ja widzę finiszującego kolarza. Przedostatnia na fot.7 stanie się (po obróceniu) wężem. Umiesz narysować węża? W drugiej od góry zobaczyłem tańczącą dziewczynę-cheerleaderkę, wymachującą żółtymi wstążkami. Trzecia w górnym rzędzie to pływak-kraulista. Pomyśl, wymyśl coś nowego, skojarz coś z każdym obrazkiem, czyli siatką sześcianu.

Fot. 8. Maszerujący ludzik i rowerzysta.
Na fot. 9 widzisz podłogę w moim przedpokoju. Służy mi ona niekiedy do matematyki.

Fot. 9.
Zadanie 6. Który z wielokątów na fot. 9 nie jest siatką sześcianu?
Zadanie 7. Matematyka zaczyna się tam, gdzie mamy jakąś regularność, wzory, powtarzalność. Oddzielne łamigłówki to jeszcze nie matematyka. Spróbuj rozwiązać zadanie, które dałem studentom informatyki. Słucham? Że to dla Ciebie za trudne? Owszem, dla nich było trudne. Ale dla Ciebie będzie łatwe. A wiesz dlaczego? Bo oni chcieli podstawić do jakiegoś wzoru, którego nauczyli się w liceum. Ale takiego wzoru nie ma. Ty po prostu … pomyślisz.
Spójrz zatem na kolejność, w jakiej ułożyłem siatki na fot. 7. Opisz ten porządek. Według jakiej reguły układałem? W pierwszym rządku są siatki, które mają „kręgosłup” z czterech czerwonych kwadracików. Do niego doczepiam dwa żółte. Inne skojarzenie: wysoka wieża z balkonikami. Liczmy piętra nietypowo, od góry. W pierwszej siatce są dwa balkoniki na piętrze najwyższym, pierwszym od góry. Zapiszmy to jako 11. To nie jest jedenaście, tylko dwie jedynki! Jedenastego piętra u nas nie ma. Druga siatka-wieża ma balkoniki na piętrach pierwszym i drugim. Zapisujemy to jako 12. Cała kolejność wygląda tak:
11, 12, 13, 14, 22 i 23.
To bardzo prosta kolejność. Po prostu … po koleiW drugim rządku są siatki o trzech poziomach. O kolejności decyduje położenie doczepionego klocka na dole. W ostatnim rządku jest siatka „typu” 222 (trzy dwójki), a na końcu jest jedyna dwupoziomowa.
Zadanie 8. Można wymyślić inne zasady porządkowania. Wymyśl.

Rys. 10. Siatki sześcianu włożone w koło i w prostokąt.
Spójrzmy na siatki jeszcze inaczej (rys. 10) . W jakie koła mieszczą się one? W jakie prostokąty?
Zadanie 9. Ułóż zadanie na temat: „ W jakie koła mieszczą się siatki, w jakie prostokąty”. Może zapytasz, jakie zadanie? Nie wiem, co ty masz je ułożyć. Ale tak, żebyś sam umiał rozwiązać!


Rys. 11. Co odróżnia te dwa kształty? Literę Z i literę T ?
I jeszcze jedna cecha odróżniająca jedne siatki od drugich. Czy widzisz istotną „matematyczną” różnicę między siatkami z rys. 11 ? Podpowiem. Spróbuj narysować literę Z jednym pociągnięciem długopisu. Uda się. Spróbuj narysować literę T, ale tak, by nie jechać po już narysowanym odcinku. Nie da się. Spójrz na lewą część rys. 11. Wyobraź sobie, że są to korytarzyki w dużym domu. Gdy układają się one w kształcie litery Z, można je wszystkie przejść, nie wchodząc drugi raz do już odwiedzonej. Dla litery T tego nie da się osiągnąć. I jeszcze raz to samo, tylko trochę inaczej. Jeżeli fragment korytarza między ramionami litery T będzie zastawiony tak, że nie da się przejść, dom będzie miał trzy oddzielne części. Dla Z-kształtnych korytarzy w najgorszym razie tylko dwie. Taka „geometria” nazywa się topologią. Dawniej używano łacińskiej nazwy „Analysis Situs”, czyli „analiza położenia”. Topologia jest zaawansowaną dyscypliną matematyki i bardzo piękną.

Zadanie 10. To najtrudniejsze. Naprawdę. Spójrz na fot. 12. Widzisz siatkę sześcianu. Na czterech krawędziach zaznaczyłem cztery punkty. Są one w jednej czwartej długości krawędzi. Składamy sześcian. Jaką figurę utworzą w przestrzeni te cztery punkty?

Pozostawię na razie bez odpowiedzi. Postaraj się. Może napiszesz do mnie? Podam odpowiedź w następnym artykule. A może napiszesz do mnie: szurek.michal@gmail.com
Zauważ, że z klocków Reko wykorzystywałem tylko kwadraciki i to tylko do budowy sześcianów. Możesz się domyślić, jakie kształty można uzyskać, gdy dopuścimy inne figury. Cierpliwości. O tym potem. Ale możesz sobie zrobić ciekawą gwiazdę.

Fot. 13
Złóż sześcian. Zastąp każdą ścianę przez cztery trójkąty ustawione tak, jak na fot. 13 (musisz usunąć ścianę, tj. żółty kwadracik). Pobaw się i ułóż inne ciekawe bryły – a potem badaj ich własności. Jakie własności i jak „badać”? To też już innym razem.
————————————————————————————————-
A na koniec dodam, że zestawy klocków Reko można zamówić np. w Wydawnictwie Nowik (z Opola). Jeśli ktoś z Państwa uważa, że nie powinienem tu uprawiać kryptoreklamy, powiem po pierwsze, że nie jest to kryptoreklama, tylko po prostu reklama. Po drugie, szczerze uważam te klocki za bardzo dobrą pomoc dydaktyczną i nie będę tego ukrywał. Po trzecie, nie jestem na procencie od producenta. Więcej – producent ów (nie wymienię nazwy firmy) nawet nie zareagował na moją pochwalną opinię o produkcie, nawet zdawkowym „dziękuję”. Dziwię się, ale to nie moja sprawa. Swoją drogą, nie jest to chyba nasz rodzimy, polski, pomysł. Ale nie sprawdzałem. Cieszyłbym się, gdyby to był jednak nasz.