Wyniki egzaminów dojrzałości nie pozostawiają złudzeń – najgorzej radzimy sobie z matematyką. Jak to zmienić? Jak sprawić, by matematyka nie kojarzyła się nam ze skomplikowanymi wzorami i trudnymi twierdzeniami? Pomóc w tym mogą linie kolejowe!

Kiedy redakcja „Sygnału” poprosiła mnie o napisanie artykułu dotyczącego matematyki, zgodziłem się bez wahania – jestem „zawodowym” matematykiem, obecnie w wieku, który np. upoważnia do bezpłatnych przejazdów środkami komunikacji miejskiej. „Królowa nauk” to moje hobby i jednocześnie „sposób na życie”. Szybko jednak pojawiły się trudności z wyborem tematu. Napisać ogólnie i z frazesami, jaka to ona jest ważna i potrzebna? Przypomnieć wzory ze szkolnej algebry? Wdać się w dyskusję z tysiącami dojrzałych ludzi, którzy narzekają „i po co mi były te ostrosłupy, permutacje i sinusy – nigdy w życiu potem mi się to nie przydało”? A może zaadresować tekst do osób odnoszących sukcesy w olimpiadzie matematycznej? Próbować wytłumaczyć, dlaczego „te cyferki” mogą być tak wciągające? Pytania, pytania, pytania… Odpowiedź przyszła po pewnym czasie. Postanowiłem ukazać matematykę w działaniu, żeby uświadomić, iż obecna jest w naszym życiu jak ukryta sprężyna.

Kolej na matematykę

Od dzieciństwa zafascynowany byłem pociągami, atmosferą stacji kolejowej, sygnałami (jeżeli napiszę coś jeszcze, to właśnie o sygnałach). Dróżnik Zawiła w Rokicinach Podhalańskich pozwalał mi otwierać szlaban po przejeździe pociągu (zamykania mi nie powierzał). Najbardziej lubiłem radośnie podniesiony podwójny semafor. Myślałem, że to oznacza „na następnym semaforze też masz wolną drogę” i byłem bardzo rozczarowany, gdy dowiedziałem się, że oznacza nakaz jazdy ze zmniejszoną prędkością. Opanowałem też inne zasady sygnalizacji, czytywałem rozkłady jazdy (!). Dlatego bardzo lubię zadania o pociągach i podróżach. Oczywiście nie mam zamiaru zanudzać zadaniami sprzed ponad stu lat, jak np. to:

O godzinie 8:40 wyszedł z Warszawy pociąg pospieszny do Poznania via Toruń. O tej samej godzinie wyruszył z Poznania balon sterowy typu „Zeppelin” i poszybował w kierunku Warszawy, lecąc stale ponad torem kolejowym również via Toruń. Szybkość pociągu pospiesznego 72 km, a balonu sterowego 80 km na godzinę. Pociąg stracił wskutek postoju na stacjach 1 godzinę 16 minut, natomiast balon szybował bez przerwy z jednakową szybkością. Odległość pomiędzy Warszawą a Poznaniem wynosi 380 kilometrów. W ile godzin po wzlocie balon znajdzie się nad parowozem pociągu pospiesznego?

Trzeba przyznać, że to urocze. Urocze przez swoją sztuczność. Oto inne zadanie z czasów, kiedy Kraków, Poznań i Warszawa leżały w różnych państwach. Jest ono wartościowe ze względu na swoje walory pozamatematyczne. Zachęcam do przestudiowania rozwiązania (na końcu artykułu). Zarówno to zadanie, jak i poprzednie, pochodzi ze zbiorku zadań z 1912 r.

W poniedziałek o godzinie 12-ej w południe podług czasu miejscowego z miasta A wychodzi pociąg pospieszny, przebywający po 6 mil na godzinę i dąży w kierunku miasta B, leżącego na zachód od A na tymże równoleżniku. Pociąg przybywa do B w czwartek o godzinie 7 minut 26 rano czasu miejscowego (B). Jaka jest odległość między miastami A i B, jeżeli pociąg nie zatrzymuje się na przystankach i co mila, wskutek biegu w kierunku zachodnim, zyskuje 22 sekundy?

Na potrzeby zajęć matematyki dla geografów zmieniłem pociąg na samolot i dodałem krzywiznę Ziemi. Podane niżej zadanie rozwiązywałem natomiast z gimnazjalistami (podopiecznymi Krajowego Funduszu na rzecz Dzieci) i ze studentami geografii. Nie zdziwiło mnie, że studenci radzili sobie znacznie gorzej niż dzieci. Podobno w Japonii policjanci wkroczyli do pewnej firmy, gdy już kończono niszczenie dokumentów. Wydobyte z niszczarki szczątki dano dzieciom – „macie tu puzzle do ułożenia”. W ten sposób odzyskano 30 proc. dokumentów.

Zadanie brzmi następująco:

Weź kartkę, ołówek i siądź w fotelu. Nie ruszając się z miejsca, oblicz, kiedy samolot wylatujący z San Francisco do Sydney 28 lutego 2020 roku o szóstej po południu znajdzie się nad linią zmiany daty. O której godzinie przyleci do Sydney? Przyjmij, że prędkość samolotu to 800 km/h. Pozostałe dane znajdź w Internecie.

Wersja tego zadania, w której zamieniamy „linię zmiany daty” na „równik”, jest znacznie trudniejsza. Dlaczego mi się ono podoba? Jest w nim porządna matematyka, to prawda, ale najbardziej porusza moją wyobraźnię fakt, że w czasie lotu zmieniamy nie tylko czas lokalny, ale klimat, porę roku i datę. Wyobraźmy sobie stewardessę, która 10 kilometrów nad Pacyfikiem mówi pasażerom: „Proszę państwa, zmieniamy datę o jeden dzień do przodu, proszę wyrwać kartkę z kalendarza”.

Zadania „transportowe” ze zrozumiałych względów są bardzo ważne. Dojechać na czas, wyznaczyć najlepszą trasę, zaprojektować przerzut wojsk – wszelkie operacje logistyczne muszą być poparte matematyką. Niekiedy łatwą, niekiedy trudną. Bywa, że matematyka ostrzega „nie rób tego”. I teraz część zasadnicza artykułu – dwa przykłady. Zobaczmy, jak daleka od tradycji szkolnej jest w nich matematyka.

Zagadnienie minimal tree problem (poszukiwanie najkrótszego drzewa) jest bardzo znane. Wyobraźmy sobie, że wskutek konieczoności drastycznych oszczędności (albo i z innych powodów) musimy zlikwidować jak najwięcej połączeń między danymi punktami sieci. Niech tymi „punktami” będą miasta Polski. Zostać ma tylko niezbędne minimum – z każdego miasta da się dojechać do innego, choć niekiedy bardzo naookoło. Bardziej życiowe sformułowanie to sieć pocztowa. Po redukcji listy „chodzą” wprawdzie znacznie dłużej, ale utrzymywana jest tylko minimalna sieć połączeń, co wiąże się z dużymi oszczędnościami. Zadanie polega właśnie na znalezieniu najkrótszej takiej sieci. Nie wspomnę tu – łatwo się domyślić – o znaczeniu tego zagadnienia wszędzie tam, gdzie mniej liczy się czas połączeń, istotne jest natomiast, by zużyć jak najmniej drutu. Na rysunku 1. widzimy budowę takiej sieci (a raczej dwóch sieci – przy pierwszej zaczynamy od Szczecina, przy drugiej od Rzeszowa). Dowolna metoda da ten sam wynik – sieć widoczną na rysunku 2.

Rys. 1. Budowa najkrótszej sieci (pierwszy wariant: zaczynamy od Szczecina, drugi – od Rzeszowa).

Rys. 2. Skonstruowana najkrótsza sieć łącząca Gdańsk, Olsztyn, Szczecin, Toruń, Białystok, Zieloną Górę, Poznań, Warszawę, Wrocław, Lublin, Terespol, Opole, Kielce, Katowice, Kraków, Zakopane i Rzeszów. Niestety z Białegostoku do Olsztyna jedziemy przez Terespol, Lublin, Warszawę, Łódź, Kielce, Kraków, Katowice, Opole, Zieloną Górę, Poznań i Toruń. To jest cena, jaką płacimy za to, by na połączenia zużyć jak najmniej drutu. Zagadnienie znalezienia sieci, która działałaby jak najszybciej, to inne zadanie.

Zadanie o minimalnej sieci algorytmizuje się łatwo. Jako autora pierwszego rozwiązania wymienia się pracownika Bell Laboratories o nazwisku B.C. Prim (1957 r). Tymczasem sposób ten podaje już polski matematyk Hugo Steinhaus (1887–1972) w swoim Kalejdoskopie matematycznym, wydanym po raz pierwszy jeszcze przed II wojną światową. Oto ten algorytm (według niego skonstruowana jest sieć z rysunku 2.).

Wybierz dowolny punkt startowy. Zamaluj go kółkiem, np. na czerwono. Wybierz punkt najbliższy startowego, zamaluj go, a także łączący je odcinek.

  1. Jeżeli wszystkie punkty zostały już zamalowane, to koniec rozwiązania. STOP. Widzisz przed sobą najkrótszą sieć połączeń między danymi punktami. Jeśli nie – wykonaj następne polecenie.
  2. Spośród niezamalowanych punktów wybierz ten, któremu najbliżej do jakiegoś zamalowanego. Zamaluj ten nowy punkt i łączący je odcinek. Teraz wykonaj polecenie 2.

Warto zwrócić uwagę, jak zmieni to sieć połączeń np. Koszalina albo Leszna.

Paradoks Breussa

Niesłychanie pouczający jest tzw. paradoks Breussa w ruchu drogowym. Przedstawię go w formie nieco zbeletryzowanej, a jako mapa posłuży mi układanka z klocków Lego.

Nad przepięknym Jeziorem Niebieskim, na jego zachodnim brzegu, leży niewielki Czarnków, a po przeciwnej, wschodniej stronie jeziora nieco większe Orangetown, dokąd mieszkańcy Czarnkowa od zawsze dojeżdżali do pracy i na jarmarki. Drogi w okolicy są różnej klasy, często zatłoczone. Z Czarnkowa do Orangetown można jechać szlakiem północnym lub południowym. Obydwa wiodą częściowo dobrą szosą (Żółta na północy, Czerwona na południu). Potem trasy te przechodzą w węższe drogi, asfaltowe, ale kręte i leśne. Jak szybko można nimi jechać, pokazuje diagram i taki oto opis: Drogą Żółtą dojechać można do Leśnej Północnej w 20 minut plus jedna dziesiąta liczby pojazdów, które akurat poruszają się tą drogą (i spowalniają ruch). Owa jedna dziesiąta to właśnie p. Drogi leśne można pokonać w czasie 4p. Jeżeli więc z Czarnkowa wyruszy drogą północną 10 pojazdów, to pokonają one Żółtą Drogę w 21 minut, a Leśną Północną w 4 minuty. Przepustowość maleje wraz z każdym dziesiątkiem aut.

Wyobraźmy sobie taką sytuację: o 7.00 z Czarnkowa do Orangetown wyjechało 60 samochodów. Ponieważ rzecz działa się w Wielkopolsce, wszyscy się dogadali. Zanim wybudowano autostradę, połowa mieszkańców wybierała trasę północną, połowa południową. Ile czasu zajmował dojazd? Obliczmy. 30 pojazdów na trasie Żółtej powoduje, że przejazd trwa 20 + 3 = 23 minuty. Potem 12 minut (4 razy 3) drogą leśną. Łącznie 35 minut z Czarnkowa do Orangetown. Zwróćmy uwagę, że ustaliła się równowaga. Każdy, kto wyłamie się z rutyny, przedłuży czas podróży sobie i innym. Przykładowo, jeśli ktoś, kto jeździł trasą północną, zmienił ją nagle na południową, drogę po Leśnej Południowej przemierzył w 16 minut (bo był czwartym użytkownikiem), a potem Czerwoną Drogę i tak w więcej niż 20. Taka równowaga jest nazywana równowagą Nasha.

Któregoś dnia okazało się, że Jezioro Niebieskie zostało wpisane na listę cudów przyrody i od razu poprowadzono przez nie autostradę na moście. Mieszkańcy Czarnkowa przyjęli ten fakt z mieszanymi uczuciami, ale mieli nadzieję, że skróci to ich podróż do Orangetown. Pierwszego dnia wszyscy ruszyli więc w stronę autostrady. 60 samochodów jechało zderzak przy zderzaku Leśną Południową. Trwało to 6 razy 4 minuty. Potem auta ruszyły szybko autostradą (8 + 6) i znów utknęły w korku na 24 minuty! Cała podróż zajęła im więc godzinę i 2 minuty! Następnego dnia część osób wróciła na stare drogi. Po kilku dniach ustaliła się równowaga: 20 aut wyrusza trasą północną, po 22 minutach są przy węźle autostradowym. Drogą Leśną Północną jedzie dalej 40 samochodów (bo dochodzą te z autostrady), trwa to 16 minut – razem 38. Taki sam czas mają podróżujący trasą południową. Pozostałych 20 kierowców wybiera autostradę (z dojazdami drogami leśnymi). Jak długo trwa ich podróż? Najpierw Leśną Południową 16 minut, potem autostradą 6 minut i znowu Leśną Północną 16. Łącznie 38 minut, a przed wybudowaniem autostrady – 35! Ładny postęp! Co najważniejsze: jest to stan równowagi. Każdy, kto indywidualnie zmieni trasę, przedłuży dojazd nie tylko sobie! Czy widać już paradoks? Wybudowanie autostrady wydłużyło każdemu dojazd. Nikt nie zmienia strategii dojazdu, w trosce o własny interes. Miało być lepiej, a wyszło jak zwykle. Matematyka jest tyle warta, na ile sprawdza się w działaniu.

Paradoks Breussa zarejestrowano w wielu miastach i właściwie sytuacja była odwrotna: najpierw zaobserwowano zjawisko, a potem starano się je zrozumieć. Choć zachowaniem kierowców (jak i wszystkich ludzi) rządzi też psychologia, matematyka jest tu nieubłagana: ustaliła się zła równowaga. Każde indywidualne działanie to pogorszenie sytuacji, globalna poprawa wymaga zespołowego działania i… na autostradzie można posadzić kwiatki. Czy wobec tego matematyka nadal budzi skojarzenia jedynie z „nudnymi cyferkami”?

Rozwiązanie

Na zakończenie rozwiązanie zadania o pociągu z XIX w., kiedy nie było jeszcze stref czasowych. Mimo swojej banalnej treści matematycznej jest ono bardzo ciekawe, stanowi bowiem odskocznię do innych problemów, pozwala wczuć się w nie tak dawną przeszłość. Zastanówmy się najpierw nad znaczeniem słów „zyskuje 22 sekundy”. Przyjmujemy, iż znaczy to, że co milę czas lokalny zmienia się o 22 sekundy. Kiedy nie istniało jeszcze słowo „globalizacja”, a podróże trwały długo, regiony miały własny czas, niezwiązany z przynależnością do stref czasowych. Przykładowo, przewodnik Walerego Eljasza po Tatrach z 1891 r. podawał rozkład jazdy pociągiem z komentarzem: „daty podane są według czasu krakowskiego; czas lwowski różni się od tego o 16 minut”. Czas na terenie całej Polski ujednolicono dopiero po odzyskaniu niepodległości. Zadanie to jest najwyraźniej reliktem z wcześniejszej edycji zbiorku i dobrze, że się zachowało. Jak i w wielu innych cytowanych przeze mnie zadaniach, jego autor mało dba o realia. Nasz pociąg jechał około 19 godzin bez przerwy – zadanie pochodzi więc chyba z czasów carskich, kiedy to kolej przemierzała bezkresne ziemie rosyjskie…

O jakiej mili może być mowa w zadaniu? Na ziemiach polskich funkcjonowały wówczas (pod koniec XIX w.) trzy mile: geograficzna – 7,426 km, austriacka – 7,586 km i polska – 8,536 km. Najbardziej prawdopodobna (również ze względu na rozwiązanie) jest mila geograficzna. Przystępujemy więc do rozwiązania. Przyjmijmy, że maszynista nie przestawiał zegarka. Która godzina była na jego zegarku, gdy po tak długiej podróży dotarł do celu? Trzeba do 7,426 dodać  minut, gdzie m jest liczbą przebytych mil. Dlaczego dodać? Wyobraźmy sobie, że lecimy samolotem do Anglii, gdzie zegarek wskazuje porę o godzinę wcześniejszą. Pociąg był zatem w drodze przez 19 godzin 26 minut +  minut. Lepiej przeliczyć to na minuty: 1166 +  minut. Prędkość 6 mil na godzinę to jedna dziesiąta mili na minutę. Droga to prędkość razy czas. A zatem  Wyznaczamy stąd mil, czyli nieco ponad 121 mil, około 900 km.

Dzisiaj tak się nie układa zadań. Uczeń jest przyzwyczajony do wyrażania odpowiedzi okrągłymi liczbami. Takie są zasady dydaktyczne. Można dyskutować z tym poglądem, bo przecież w zadaniach „z życia” nie ma okrągłych liczb. Sprawdźmy odpowiedź do zadania z realiami geograficznymi. Pociąg „zyskał”  sekund, czyli blisko trzy czwarte godziny. Zakładamy, że rzecz dzieje się w naszych szerokościach geograficznych. Długość równoleżnika krakowskiego to około 40 000 km razy cos (50°), czyli około 25 700 km (dlaczego? – to osobne zadanie!). 900 km odpowiada więc w przybliżeniu 50 minutom różnicy w czasie lokalnym. Zadanie było zgodne z realiami!

Do obliczenia odległości między tymi dwiema niegdysiejszymi stolicami Galicji wykorzystajmy też cytowaną informację z przewodnika Walerego Eljasza, że „czas krakowski różni się od lwowskiego o 16 minut”. Skoro 900 km odpowiadało 50 minutom, to 16 minut daje (jak to obliczyć?) około 288 km. A jak jest w rzeczywistości? Można to sprawdzić? Jak? Takie pytanie nie powinno paść w XXI w.

 Artykuł pochodzi z miesięcznika „Sygnał. Magazyn Wychowawcy” (sierpień 2017)