Matematyka i rower

Kwadratura koła – czy wiesz, co to znaczy? To symbol rzeczy niemożliwej do wykonania. Ale nie wejdę w geometrię. To innym razem.
Czy umiesz jeździć rowerem? Czy pamiętasz, jak się uczyłeś, uczyłaś? Prawdopodobnie miałeś, miałaś mały rowerek z kijkiem z tyłu i tatuś biegał za nim i uczył cię, jak się nie przewrócić. Może i mamusia, dlaczego nie, ale tradycyjnie to „ojcowska” rola. Teraz już wsiadasz i jedziesz. Oczywiście stosujesz się do wszelkich zasad bezpieczeństwa. Zadam Ci pytanie, wyda ci się śmieszne. Wyobraź sobie, że ja kiedyś zadałem je swojemu ojcu i też się roześmiał.
Pytanie: Tatusiu, po co są szprychy w rowerze?
A gdy odpowiesz, to pytanie następne: to dlaczego samochód nie ma szprych?
No dobrze, umiesz jeździć. Nie zdając sobie z tego sprawy, wykonujesz drobne ruchy ciałem, żeby utrzymać równowagę. Pomaga w tym konstrukcja roweru (wygięty widelec) i fizyka. W jednej z książek znalazłem opis, jak to pewna gaździna spod Nowego Targu marzyła o rowerze, w końcu go sobie kupiła, wsiadła … i oczywiście natychmiast się przewróciła. Nikt jej nigdy nie uczył jeździć, a widziała, jak inni jeżdżą bez wysiłku. Ot, wsiadają i jadą. Co to za sztuka?
Dlaczego o tym piszę? Nie tylko jazdy na rowerze, ale i wielu umiejętności – naucz się, gdy jesteś młody. Potem nawet nie zauważysz, jak wiele spraw przychodzi ci bez wysiłku. Jak płynnie mówisz w obcych językach, jak dobrze znasz literaturę, jak sprawnie umiesz wiosłować na wycieczce kajakowej, jak ładnie poruszasz się na skalnych drogach Tatr, jak niewiele trudności sprawia ci matematyka… Lista jest długa.
Jednak najpierw rozwiąż matematyczne zadanie rowerowe. Jest ono o mnie – przecież mógłbym być Twoim dziadkiem.
Zadanie 1. Wybrałem się na dwugodzinną okrężną przejażdżkę rowerową. Przez pierwszą godzinę pedałowałem dzielnie z prędkością 20 km/h, ale drugą wlokłem się tylko z prędkością 10 km/h. Cóż, jestem starszym panem. Jaka była moja średnia na całej trasie?
Odpowiedź wydaje się – i jest – bardzo prosta. Średnia to średnia. Dodajemy i dzielimy przez 2 ;

Piętnaście kilometrów na godzinę.
Następnego dnia wybrałem się na przejażdżkę po tym samym lesie, ale z wybranym punktem docelowym. Chciałem dojechać do pewnej znanej mi ładnej polany. Było do niej 20 kilometrów. Jak poprzednio, w jedną stronę udało mi się utrzymać prędkość 20 km/h, ale zmęczyłem się tak, w drodze powrotnej moja średnia spadła do 10 km/h. Jaka była moja prędkość na całej trasie?
Jak, to jaka? – możesz się zdziwić. Przecież to to samo! Pół drogi z taką prędkością, pół z taką. Średnia to średnia. Dodajemy i dzielimy przez dwa, po przecież „połowy” są równe. Piętnaście!
Hm. Spójrzmy. Moja wycieczka drugiego dnia trwała trzy godziny (godzinę w jedną i dwie z powrotem). Przejechałem 40 kilometrów. To znaczy, że średnia prędkość wyniosła

No jasne: przecież wolniejsza jazda trwała dłużej, więc musiała mieć większy wpływ na średnią.
Skoro wycieczka, to wycieczka. Zrobimy wypad w trudniejszą matematykę. Będzie przez chwilę trudniej, … ale potem znowu będzie łatwo. Ujmuje się to tak: w opisanej sytuacji średnia prędkość nie jest średnią arytmetyczną, tylko harmoniczną prędkości składowych. Średnia harmoniczna jest to odwrotność średniej arytmetycznej odwrotności. Zapiszmy to wzorem:

Wygląda to mało zachęcająco, ale ułamki piętrowe nie są przecież tak straszne. Mamy

No, dobrze, ale skąd ten wątek cykliczny? W sierpniu 2021 roku Igrzyska Olimpijskie były w Tokio. Światek matematyczny obiegła wiadomość, że złoty medal w kolarstwie szosowym zdobyła Austriaczka, Anna Kiesenhofer, która „w cywilu” jest matematyczką. Przyjąłem tę wiadomość z pewnym lekceważeniem – mało to sportowców z fikcyjnym dyplomem? Ale ponieważ jednak znam się na matematyce (na kolarstwie raczej nie) zajrzałem do prac naukowych złotej medalistki (poprzedni medal w kolarstwie szosowym dla Austrii, wtedy jeszcze Austro-Węgier, zdobył w 1896 roku Felix Adolf Schmal).
Są to po prostu prace badawcze na dobrym poziomie naukowym. Spójrzmy na karierę naukową pani doktor: studia na Politechnice Wiedeńskiej, potem w Cambridge, doktorat w Kalifornii, a obecnie pracuje na Politechnice w Lozannie, w Szwajcarii. Nie tak źle, prawda? Ani w Cambridge (jednym z najsłynniejszych uniwersytetów na świecie), ani w Kalifornii, ani na szwajcarskiej politechnice (też dobrej marki) nie tolerowaliby pracownika, który nie wykonuje dobrze swoich zadań. A tak na boku: flaga szwajcarska jest kwadratowa!
Na ogół sportowcy opowiadają nam o pełnym wyrzeczeń życiu: 300 dni w roku na zgrupowaniach po to, żeby rzucić dalej o pół metra, urwać pół sekundy, podźwignąć jeszcze jeden kilogram, dopracować do perfekcji ruch wiosła w wodzie. Mówią prawdę – taka jest cena osiągnięć. Ale żeby tak wsiąść na rower w przerwie między rozwiązywaniem jednego równania i drugiego… i jeszcze wyprowadzić w pole rywalki? Przypomnę bowiem, że Anna Kiesenhofer uciekła tak, że pozostałe zawodniczki nie orientowały się, że jest ktoś przed nimi. Po prostu przechytrzyła je. My, matematycy, mamy takie powiedzenie: matematyk zrobi to lepiej. Przy okazji zauważmy ciekawostkę językową: jeżeli kolarz ucieka, to znaczy, że atakuje!
Wspomnę kilku dawnych polskich mistrzów sportu, którzy mieli porządne wyższe wykształcenie. „Dawnych” – bo wtedy było trudniej, wykształcenie wyższe było dostępne dla niewielu…, ale to już temat na inny artykuł. Było wśród tych sportowców wielu lekarzy. Był nim na przykład Roger Bannister (1929-2018, pierwszy człowiek, który przebiegł milę poniżej 4 minut, a było to 6 maja 1954; obecny rekord jest zaledwie o 16 sekund lepszy, 3:43,13 i jest nie pobity od 1999 roku). Lekarzem był Stefan Lewandowski (1930 – 2007, najlepszy średniodystansowiec w Polsce w latach pięćdziesiątych XX wieku) … i inny Lewandowski (Zbigniew, 1930- 2010), który był pierwszym Polakiem, który skoczył 2 metry wzwyż (12 maja 1957). Tak, rekord przedwojenny należał do Zbigniewa Pławczyka (1,96). Widocznie Lewandowski to takie sportowe nazwisko. Pierwsza zdobywczyni złotego medalu dla Polski po wojnie, Elżbieta Duńska-Krzesińska (1934 – 2015, skok w dal, Melbourne 1956, 6 m 35 cm), była dentystką. Uzupełnię tę listę bokserem. Kazimierz Paździor (1935-2010, złoty medal w Rzymie w 1960 roku) był magistrem ergonomii. Ergonomii, nie ekonomii, jak pisali wtedy dziennikarze. Natomiast uniwersyteckie wykształcenie ekonomiczne (Uniwersytetu Warszawskiego) miała najsłynniejsza polska lekkoatletka, Irena Szewińska (1946 – 2018) – widywałem ją na uczelni, bo studiowaliśmy w tych samych latach. Na ogół biegała, a nie chodziła po schodach. Może w ten sposób trenowała?
Wielu matematyków było dobrymi alpinistami, ale nie mam informacji, by w klasycznych sportach osiągali wybitne wyniki. Dopiero Anna Kiesenhofer. W prasie pisano potem, że to wszystko sobie wyliczyła… Pani doktor Kiesenhofer zajmuje się równaniami różniczkowymi cząstkowymi. Co to są za równania? Dowiesz się, kiedy będziesz starszy!
Rower to piękny wynalazek, a medal olimpijski jest okrągły, jak koło. Pani doktor Annie Kiesenhofer potrzebny jest jeszcze jeden, żeby obydwa razem przypominały jej koła rowerowe. Pozazdrościć, nie tylko talentu kolarsko-matematycznego, ale i umiejętności pracy, godzenia jednego z drugim. Sportu z nauką. Rozrywki z pracą. Odpoczynku w akwaparku ze zmęczeniem fizycznym po górskiej wycieczce. I tak dalej. To bardzo cenna umiejętność. Jak myślisz, czy masz ją, choć trochę?