Jesień

Na jesiennej lekcji matematyki w parku, leżącym tuż przy szkole, dzieci zbierały kasztany. Dominika i Isia zebrały aż po trzydzieści sześć. „Ułóżcie je równo”, poprosiła nauczycielka. „Jak to równo?” zapytały dziewczynki. „Ułóżcie, a potem porozmawiamy”. Dominika ułożyła kwadrat, a Isia trójkąt.

Zadanie 1 . A może znasz jakiś wiersz, albo piosenkę o kasztanach? Powiedz, albo zaśpiewaj.
Zadanie 2. Czy możesz powiedzieć, które ułożenie jest lepsze? Które jest „bardziej matematyczne”?
Odpowiem. Żadne nie jest lepsze żadne nie jest „bardziej matematyczne”. Możesz tylko powiedzieć, które ci się bardziej podoba! Ale tego też nie da się rozstrzygnąć. Różnym ludziom mogą podobać się różne rzeczy. Pierwsze ustawienie pokazuje, że 62 = 36, a drugie, że 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36. Dlatego matematycy mówią, że 36 jest zarówno liczbą kwadratową, jak i trójkątną.
Natomiast Staś znalazł tylko 25 kasztanów. Ułożył je w kwadrat, a potem chciał w trójkąt – tak, jak Dominika i Isia. Nie udało mu się.
Zadanie 3. Dlaczego mu się nie udało? Czy był taki niezgrabny? Postanowił poszukać więcej niż 36 i tak, żeby też dało się ułożyć zarówno trójkąt, jak i kwadrat. Jak myślisz, czy mu się udało?
Odpowiedź. Nie sądzę, żeby tego dokonał, bo następną liczbą, która jest zarówno trójkątna, jak i kwadratowa jest dopiero 1225.
Wróćmy jednak do szkoły. Stasiowi takie zadania nie dawały spokoju. Była jesień, a więc w ogródku przy domu spadały orzechy. Staś pozbierał, co spadło i od razu zaczął układać. Dwadzieścia pięć orzechów ułożył tak (jak na rysunku 4). Potem układał jeszcze inaczej. Udało mu się ułożyć tak (rys. 5). Powiedział potem: mam 49 orzechów, ułożonych w trójkąt, ale mam też 36 (bo 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 to właśnie 36) – to też trójkąt, ale inny niż ten, który ułożyła Isia. Zaczął sobie też przypominać, gdzie widział podobny znak drogowy. Pamiętał, że było to blisko torów kolejowych. Przypomniał sobie. Taki krzyż nazywa się krzyżem świętego Andrzeja – patrona Szkocji


Zadanie 4. A Ty? Przypomnisz sobie? Gdzie stoi znak drogowy, na którym jest krzyż świętego Andrzeja? To bardzo ważny znak. Dlatego ma nietypowy kształt.


Zadanie 5. Ile kasztanów jest rys. 5? To wiesz, 49. A gdyby ułożyć jeszcze jeden rządek pionowy? A dwa?
Zadanie 6. Ile kasztanów jest na rysunku 6 ? Jak je policzyć najsprawniej?
Zadanie 7. Masz 100 kasztanów. Układasz z nich jak największą gwiazdkę taką, jak na rys. 7, czyli o pięciu ramionach. Czy wykorzystasz wszystkie kasztany? Jeżeli nie, to ile zostanie?


Zadanie 9. Jakie sporty uprawia się na kwadratowym polu? Podam jeden przykład: boks. Ring jest kwadratem 3 na 3 metry. Podpowiem: pewien japoński styl walki.

Ładny rysunek pomaga


Zadanie 1 . Narysuj kwadrat na kratkowanym papierze. Zaznacz jego środek. Przeprowadź linię prostą przez środek. Dzieli ona kwadrat na dwie części. Jak uzasadnisz, że otrzymałeś dwie figury o równych polach? Spójrz na rys. 1.
Zadanie 2. Spójrz na rys. 2. Co to za liczby? Jaka będzie następna?


Zadanie 3. Przerysuj elipsę (tak się nazywa taka podługowata zamknięta krzywa, rys. 5) i spróbuj wpisać kwadrat w elipsę i opisać na niej kwadrat, tak, jak ja zrobiłem na rys. 6. Nie zrobisz tego dokładnie, bo to trudne zadanie matematyczne – postaraj się jak umiesz. Możesz wyciąć elipsę i próbować.

I jeszcze o pieskach. Azor, Burek, Ciapek i Drops leżą sobie na trawie w czterech wierzchołkach kwadratu. Nagle – nie wiadomo dlaczego – Azor biegnie na Burka, Burek na Ciapka, Ciapek na Dropsa a Drops na Azora. Każdy z nich biegnie po dziwnej krzywej, a kwadrat łączący pieski zmniejsza się dość szybko. Wreszcie wszystkie wpadają na siebie w środku… Lepiej nie wyobrażać sobie, co tam się dzieje.