Tabliczką mnożenia zainteresowałem się „powtórnie”, gdy mój kolega, wybitny matematyk, prosił mnie o interwencję w szkole, do której chodzi jego córka. „Wyobraź sobie, że pani od matematyki każe im się na pamięć uczyć tabliczki mnożenia i odpytuje na wyrywki! A moja córka doskonale rozumie to wszystko, w razie czego umie wyliczyć, np. 7 razy osiem, korzystając z rozdzielności. Wreszcie od tego są kalkulatory, teraz dostępne i w telefonach. Dwudziesty pierwszy wiek to nie dziewiętnasty".

„Drogi Jurku” odpowiedziałem, „czy chciałbyś, żeby chirurg, który będzie cię za chwilę operował, właśnie uczył się anatomii z Internetu?” Ale rozstaliśmy się, nie dochodząc do porozumienia. Wrócę kiedyś do tego zagadnienia: jak wiele trzeba umieć „na pamięć”? A teraz wpłynę na bezpieczne dla mnie wody czystej matematyki.
Oto najzwyklejsza tabliczka mnożenia; można ją „wygenerować” np. Excelem – pobierz
Występujące w niej ciekawe zależności można wykorzystać na lekcjach od III klasy szkoły podstawowej do III klasy liceum i to zarówno na lekcjach matematyki, jak i informatyki. Ograniczę się do obserwacji i pytań, pozostawiając Czytelnikom sformułowanie ogólnych twierdzeń wynikających z tych obserwacji, a także dowody tych twierdzeń. W końcu to tylko … tabliczka mnożenia.

Dostosowując poziom trudności zadań do wieku naszych uczniów, możemy im niektóre własności  podać jako ciekawostkę albo dać jako samodzielną pracę badawczą.

  • Spójrzmy najpierw na kwadraty utworzone z liczb położonych tak jak liczby 15, 25, 21, 35  albo 72, 144, 108, 216 czy też 91, 143, 119, 187 (zaznaczone na żółto). Czy to przypadek, że iloczyn liczby „północnowschodniej” i „południowowschodniej” jest równy iloczynowi liczby „północnozachodniej” i „południowozachodniej”? (15·35 = 21·25 = 525, 72·216 = 144·108 = 15552, 91·187 = 143·119 = 17017 ) ? Sformułuj ogólne prawo wynikające stąd  i udowodnij je. Co z tego wynika dla iloczynu liczb w ramionach żółtego krzyża o końcach ramion 72, 144, 108, 216?
  • Spójrz na krzyże w kolorze ciemnoczerwonym. Zauważ, że w nich sumy przeciwległych elementów są równe:  18 + 54 = 28 + 44 = 72 , 170 + 250 = 126 + 294 = 420. Sformułuj ogólne prawo i udowodnij je.
  • Przekonaj się o prawdziwości ogólnych zależności, które sformułowałeś powyżej, za pomocą arkusza kalkulacyjnego. Na przykład, żeby przekonać się, że w krzyżu o kształcie takim, jaki tworzą liczby 15, 25, 21, 35 , odpowiednie iloczyny będą zawsze równe, sprawdź to w jednym przypadku, a następnie wykorzystaj „adresowanie warunkowe”. Zwróć uwagę, że napisałem „przekonaj się o prawdziwości”, a nie „udowodnij”. Czy rozumiesz różnicę?
  • Popatrz na zielone romby. Pierwszy z  nich tworzą liczby 96, 90, 136, 133. Porównajmy sumy przeciwległych elementów: 96 + 133 = 229, 136 + 90 = 226. Pozornie nic tu ciekawego. Badamy inne „zielone” romby: 20 + 84 = 104, 44 + 57 = 101. Następnie: 252 + 323 = 575, 272 + 300 = 572. Sformułuj i udowodnij ogólne prawo, które … już chyba widzisz.
  • Średnia arytmetyczna liczb na obwodzie fioletowego ośmiokąta jest równa liczbie stojącej w jego „środku symetrii”:

Natomiast obydwa iloczyny liczb stojących w ukośnych „przeciwległych bokach” tego ośmiokąta są równe 488421964800000.  Czy to czysta koincydencja, czy szczególny przypadek jakiegoś ogólnego twierdzenia?

  • Spójrzmy na szary kwadrat wypełniony 36 liczbami  o wierzchołkach 130, 180, 195, 270 . Okazuje się, że iloczyn liczb stojących w lewej górnej ćwiartce i prawej dolnej jest równy iloczynowi liczb z lewej dolnej i prawej górnej ćwiartki. Sformułuj ogólne twierdzenie i udowodnij je. Jeśli znasz jakiś język programowania, przystosowany do obliczeń matematycznych (Mathematica, Derive, Mupad), zrób to za jego pomocą. Jeśli nie, to możesz posłużyć się arkuszem kalkulacyjnym (nie, żeby udowodnić, tylko zobaczyć, że tak w gruncie rzeczy musi być). Jeśli nie chcesz i arkusza kalkulacyjnego, to trudno   …. musisz pomyśleć i sprowadzić zadanie do tych, które już rozwiązywałeś.
  • Sprawdź, że suma liczb w pionowych ramionach szarego krzyża widocznego w prawym dolnym rogu tabelki jest równa sumie liczb ramion poziomych.
  • Teraz już powinieneś sam dostrzec, udowodnić i uogólnić ciekawą własność niebieskiego ukośnego „krzyża” liczbowego.
  • A teraz już powinieneś znaleźć samodzielnie wiele innych ciekawych właściwości najzwyklejszej tabliczki mnożenia.