– Proszę nie traktować za poważnie naszego ostatniego seminarium w tym roku szkolnym. W końcu czerwca nauczyciele są zmęczeni, przepracowani i z utęsknieniem czekają na lipiec, więc może znajdzie pan coś lekkiego – ustawiła mnie pani Ela, prezeska Fundacji „Edukacja na NOWO”, zapraszając na cotygodniowe spotkanie z nauczycielami. Pomyślałem sobie, że zawsze tak się staram, a głośno odpowiedziałem, z pewną przekorą:

– Ja tak nie umiem. Będzie kawałek trudnej matematyki. Będzie jak zawsze „od przedszkola do uniwersytetu”.

Na spotkaniu wyjąłem talię kart i obiecałem pokazać dwa efektowne tricki, w których znajduje się niewiadomą kartę, a które oparte są na matematyce. Pomysł zaskoczył – wszyscy z ożywieniem ćwiczyli, żeby pokazać to potem, może w domu, może na lekcjach. Pierwszy z nich opiera się na twierdzeniu Steinhausa o odwzorowaniach zwężających w wersji dyskretnej, a wszystko łatwo zrozumieć rachunkiem macierzowym… albo rysując odpowiednie diagramy. Albert Einstein miał wiele trafnych powiedzeń. Tu przyda mi się następujące: wszystko należy upraszczać jak tylko można, ale nie bardziej.

Bierzemy 27 kart. Może być też 15 albo 21. Przy dziewięciu kartach sztuczka jest za prosta, przy ich większej liczbie (zawsze postaci 6n + 3) komplikuje się, ale niewiele. Zobaczymy, jak, a na razie rozkładamy 27 kart na trzy rzędy lub kolumny, mniej więcej tak, jak na fotografii. Uwaga: karty kładziemy poziomymi rzędami, najlepiej nakładając jedne na drugie, bo to ułatwia zbieranie ich potem. Prosimy kogoś o wybranie sobie (w myśli) karty i pytamy tylko, w której kolumnie (rzędzie pionowym) ona jest. Zbieramy karty (uwaga!) w ten sposób, żeby rządek (kolumna) z wybraną kartą był środkowy. Nie ma znaczenia, która jest pierwszy, która trzeci, byle by ta ze zgadywaną kartą była druga. Oczywiście nie możemy zmieniać kolejności kart w rządkach. Rozkładamy powtórnie (kładziemy rzędami poziomymi) i znów pytamy, w której kolumnie jest wybrana karta. Zbieramy (kładąc ten kolumnę między dwie pozostałe) i rozkładamy jeszcze raz i jeszcze raz pytamy, w której kolumnie jest karta…. I teraz możemy odegrać trochę komedii, np. jeżeli widzimy, że wybraną kartą jest dama karo, możemy powiedzieć coś o miłości, a jeżeli dwójka – to coś o bliźniakach, których może spodziewa się pani domu i tak dalej, według inwencji.

Ale skąd wiemy, jaką kartę wybrano??? Aaaa, proszę spojrzeć na fotografie. Wybrałem damę kier. Co się z nią dzieje po kolejnych przekładankach? Dąży ona do środkowego miejsca w naszej 27-kartowej talii. „Dąży” – to znaczy, że jest coraz bliżej. Gdy znajdzie się w samym środku, już nic jej nie ruszy – kolejne przekładanki nie zmienią jej położenia. Tak będzie dla każdej karty. Środek talii przyciąga wszystkie karty bardzo silnie – już po trzech przełożeniach karta wlatuje do środka, a po dwóch jest w środku rządka.

Fot. 1.

Fot. 1. Pozycja wyjściowa. Wybieramy, dajmy na to, damę kier (w ostatniej kolumnie, przedostatnia na dole). Gdzie będzie ona po przekładce? Trzecią kolumnę wkładamy w środek, a na początek dajemy, powiedzmy, drugą. Przypominam, że rozkładamy poziomo. Zatem pierwszych 9 miejsc w diagramie zajmą karty: 6 kier, król pik, szóstka trefl, 10 trefl i tak dalej, a dama kier będzie na miejscu 17, czyli w drugiej kolumnie, niedaleko środka (fot. 2).

Fot. 2.

Fot. 2. Kładziemy teraz środkową kolumnę w środek między dwie, a na wierzch np. trzecią. W nowym rozkładzie na początku stać będzie 9 kart: 6 trefl, ósemka kier, trójka pik, czwórka karo, aż do asa karowego, a potem pojawią się karty z byłej środkowej kolumny, gdzie dama kier była na szóstym miejscu. To znaczy, że uplasuje się teraz na piętnastym (licząc od lewego górnego narożnika), czyli znowu wróci do ostatniej kolumny, ale wyżej. W tym momencie potrafimy zgadnąć, jaką kartę wybrano – to środkowa karta w ostatniej kolumnie (fot. 3). Dla pewności możemy jeszcze raz zebrać karty i rozłożyć. Szukana trafi w sam środek, na 14 miejsce (fot. 4).

Fot. 3.

Fot. 3. Po dwóch przekładkach. Dama kier w środku trzeciej kolumny.

Fot. 4.

Fot. 4. Bingo! Dama kier w samym środku prostokąta.

Można łatwo zobaczyć, że nasz sposób „kolumna z szukaną do środka” powoduje, że możliwe położenia karty szukanej się mocno kurczą. Za każdym razem po prostu trzykrotnie. W analizie matematycznej dowodzi się, że odwzorowania lipschitzowskie są ściągające w sensie Banacha-Steinhausa! Wspominam o tym, starając się pokazać po raz kolejny ten wątek: mamy nasz drobny fakt matematyczny i czujemy, że za nim rozciąga się cała kraina, bogata w twierdzenia i własności figur. Zapewniam Czytelników, że tak jest na każdym poziomie matematyki: czujemy, że jesteśmy tylko na brzegu ogromnego morza. Tu Żeromski się nie mylił. Nauka jest jak ogromne morze: im bardziej pijesz, tym bardziej jesteś spragniony. Co prawda, złośliwi mogą powiedzieć: tylko ktoś nierozważny pije wodę morską – ona jest po prostu trucizną. Ale podam własny przykład. Moja praca habilitacyjna dotyczyła wiązek wektorowych rangi 2 na powierzchni stopnia 2, o drugiej klasie Cherna c2 nie większej niż 4. Nieważne, co to znaczy. Proszę zwrócić uwagę na małe liczby tam występujące. Jest mniej więcej jasne, że np. dla c2=6 odpowiedź mogą poznać tylko małe zielone ludziki z Marsa.

A teraz coś o „szalonym uczniu”, który rozwiązywał równanie, konstruując ciąg zbieżny i wykorzystując lipschitzowskość funkcji z ograniczoną pochodną. Oczywiście, on sam tego nie wiedział.

Oczywiście wszyscy wiemy, że x = 2. Ale, czy ten sposób rozwiązania, który przedstawię, jest całkiem bez sensu? Owszem, jest to jak jazda do Lizbony przez Władywostok. Rozumujmy tak. Nie wiem, ile jest równy x. Może x = 4? Aha. Najpierw przekształćmy to równanie

Podstawmy wartość x = 4 i potraktujmy zapis informatycznie, x „staje się” Podstawmy znowu po prawej stronie wartość 8/3 jako x. Otrzymamy I jeszcze raz. Otrzymamy  Nie mamy wątpliwości, że za kolejnym razem będzie a potem i tak dalej. Ciąg nie osiągnie liczby 2, zbliży się do niej jednak na dowolnie małą odległość. Można powiedzieć, że ten ciąg jest przyciągany do liczby 2. Liczba 2 nazywa się tu atraktorem, albo punktem przyciągającym. Podobnie w naszej sztuczce karcianej: każda karta jest przyciągana przez środek prostokąta. Prędzej czy później znajdzie się w tym środku już na zawsze. Dla wielu równań takie kolejne powtarzanie procesu prowadzi do chaosu, stąd np. fraktale. Dla niektórych, przeciwnie, prowadzi do porządku i ładu. Opis tego za pomocą rachunku macierzowego dam studentom. „Tego”, to znaczy zachowania się kart, gdy robimy z nimi to, co opisałem.

Co powinien tu zobaczyć i zbadać „rasowy” matematyk, nawet uczeń? Jak zwykle: zobaczyć ten proces w całej ogólności. Co będzie, gdy weźmiemy np. 49 kart, albo 81? Po drugie, gdybyśmy rozkładali na pięć części? Po trzecie…? Pytania, pytania, pytania. Własna twórczość matematyczna. Od przedszkola do uniwersytetu.

Co to daje? Co daje matematyka? Odpowiedzieć można krótko. Umiejętność pracy z dowolnym problemem intelektualnym. Tylko tyle i aż tyle.

Na seminarium pokazałem jeszcze jedną matematyczną sztuczkę z kartami. Jest bardzo efektowna i bardzo prosta. Czy po jej opanowaniu dzieci zrozumieją lepiej, co to jest symetria? Może tak, a może… niekoniecznie.

Wybieramy z talii te karty, które mają niesymetryczny rysunek, na przykład as, trójka, piątka, siódemka i dziewiątka kier, trefl i pik. Układamy je regularnie, np. trefle i piki ogonkiem do dołu, kier ostrzem w dół. Podstawiamy komuś rozłożony wachlarz kart (koszulkami do góry), prosimy o wyciągnięcie jednej, obejrzenie i włożenie z powrotem. Potem tasujemy karty, możemy też demonstracyjnie poprosić kogoś innego o potasowanie… i bez trudu zgadujemy, jaką kartę ta osoba wyciągnęła. Skąd to wiemy? Trzeba tylko przedtem wykonać jeden drobny ruch. W momencie, gdy nasz partner ogląda kartę, obracamy cały wachlarz o 180 stopni. Karta wraca na swoje miejsce, ale już niezgodnie zorientowana z resztą. Rozpoznać ją nietrudno. Nasz obrót stosu (wachlarza) zawsze zostaje niezauważony… Miłej rozrywki…