W ciągu kilku ostatnich tygodni (tj. kwiecień – czerwiec 2017) brałem udział w kilku konferencjach, imprezach, obozach przeznaczonych dla różnych odbiorców: uczniów różnych poziomów i ich nauczycieli. Sam fakt istnienia wielu instytucji które w swoją „misję” wpisują troskę o poprawę stanu polskiej edukacji świadczy o fali narastającej, autentycznej troski społecznej o to, co zostawimy po sobie, co przyjdzie po nas i czy może choć następne pokolenia będą żyć w kraju pogodnych ludzi, kraju nierozdartym przez wewnętrzne spory, mądrze rządzonym przez mądrych ludzi. Omijając szerokim łukiem politykę, odnotujmy tylko ciągłe reformy w szkolnictwie, ciągłe poszukiwania, próby, innowacje. Być może wiąże się to z kryzysem szkoły jako takiej. Szkoły powszechne są produktem Oświecenia. Ich struktura okrzepła w połowie XIX wieku… i od tej pory niewiele się zmieniła – a jak bardzo zmienił się świat! Jeszcze „gorzej” jest w matematyce – w szkole nauczamy mniej więcej tego samego, co 150 lat temu, tyle, że (nie licząc rachunku prawdopodobieństwa, wprowadzonego do szkół w latach siedemdziesiątych zeszłego wieku) mniej! Kto nie wierzy, oto przykład. W lekturach szkolnych są ciągle „Syzyfowe prace” Stefana Żeromskiego, dziś zupełnie niezrozumiałe dla młodzieży. Na lekcji matematyki nauczyciel poleca uczniowi wyprowadzenie wzoru na objętość ostrosłupa ściętego. Widać to ładnie na filmie (zrealizowanym kilkanaście lat temu). Zatrzymałem kadr, by obejrzeć tablicę, na której uczeń (Radek) pisze. Zgadza się – wzór jest prawidłowy. Reżyser skonsultował to z matematykiem! Kto z Czytelników, kto z uczniów dzisiejszego liceum umie wyprowadzić ten wzór? Przecież nie ma go nawet w zestawie „gotowców” – wzorów, które uczeń może mieć ze sobą na maturze. Wszystko po to, żeby nie obciążać młodego umysłu, oszczędzać go. Niech myśli jak najmniej!
Przypomniało mi się to na zajęciach w ramach Pociągu do Matematyki – cyklicznego przedsięwzięcia organizowanego przez Fundację Edukacja na NOWO, przy pomocy firmy AKCES edukacja. Tym razem (czerwiec 2017) byliśmy w Koninie. Pokazywaliśmy (całym zespołem) interesującą i pożyteczną matematykę – głównym (choć nie jedynym) naszym narzędziem były klocki LEGO.
Piszę te słowa w przedostatnim dniu roku szkolnego, w którym gimnazja – polski ewenement na skalę światową – istnieją. O gimnazjach mówiono dobrze i źle, a nauczyciele byli raczej zgodni, że liceum powinno być czteroletnie. Tym niemniej przez 17 lat istnienia gimnazjów to na nie przeniósł się ciężar oświaty. Wszyscy nauczyli się z nimi pracować. Zostały zlikwidowane wyłącznie ze względów politycznych. A wydawało mi się kiedyś, że możemy się różnić na wiele spraw, ale wszyscy dorośli chcą jednego: żeby było lepiej, żeby było lepiej, żeby radosne dzieci chodziły do przyjaznej szkoły, witane z entuzjazmem przez nauczycieli lubiących swoją pracę. I co równie ważne: fachowych. Marzenie ściętej głowy?
Na temat zajęć w Koninie wybrałem liczby trójkątne… i klocki LEGO. Chciałem pokazać inne podejście do matematyki, inne zadania, których nie da się rozwiązać przez podstawienie do wykutego wzoru. Szaleństwo „wykutych wzorów” dociera do mnie przez studentów pierwszego roku różnych studiów. Lata szkoły ich tego nauczyły: szukaj formuły, wzoru, do którego możesz podstawić, żeby… się dało cokolwiek wyliczyć. Wszystko jedno, czy błędnie, czy poprawnie!
Wziąłem na warsztat liczby trójkątne. Takie liczby to kolejno 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36 i tak dalej. Jak dalej? Widać to z ciągu, który napisałem. Różnice między kolejnymi liczbami to 2, 3, 4, 5, 6, …, jak na Fot. 1.
Fot. 1. Dziewiąta liczba trójkątna, T9, jest równa 45.
Resztę artykułu niech… wypełnią same fotografie, z krótkimi podpisami.
Fot. 2. Wyprowadzenie wzoru na liczby trójkątne.
Fot. 3. Równość liczb trójkątnych: 3 T6 + T5 = T12 . Pomyśl i napisz wzór ogólny? Czy jest nim 3 Tn + Tn-1 = T2n ? A może n T2n + Tn+2 = T4n ? Jak to sprawdzisz?
Przypomniałem, jak próbowałem wyciągnąć to ze studentów 2 i 3 roku specjalności pedagogicznej pewnego uniwersytetu na kilkudniowym seminarium, które prowadząca nazywała „naukowym”. Nie dostrzegali nic, nie widzieli w tej układance nic poza kolorowymi obrazkami. O dowodzie nie było nawet mowy. Ba, jeden ze studentów stwierdził po głębokim namyśle, że obydwa wzory 3 Tn + Tn-1 = T2n i n T2n + Tn+2 = T4n są prawdziwe, bo po podstawieniu n = 3 dają to samo.
Fot. 4. Liczba 36 jest zarówno trójkątna, jak i kwadratowa. Oto sposób pocięcia trójkąta o polu 36 tak, żeby z części dało się złożyć kwadrat.
Fot. 5. …a oto inny, chyba ciekawszy sposób. Wszystkie części kwadratu (z wyjątkiem jednej, której?) otrzymujemy z części trójkąta przez proste przesunięcie.
Fot. 6. Jakie liczby trójkątne widzisz tu?
– Wyjdźmy w przestrzeń – zaproponowałem. – Ułóżmy bryłę, której kolejne piętra będą wyrażone przez poszczególne liczby trójkątne. Parter ma mieć pole … Cztery osoby miały cztery różne pomysły (Fot. 7, 8).
Ucieszyłem się, że już mogę mówić o zasadzie Cavalieriego. Znana dawniej ze szkoły, obecnie zapomniana, zasada ta stwierdza, jeżeli dwie bryły mają tę samą wysokość i to samo pole powierzchni na każdym poziomie, to bryły te mają równe objętości. Zasada pozwala na poziomie szkolnym ominąć całkowanie przy obliczaniu objętości brył. Na fot. 7 i 8 widzimy bryły o jednakowych objętościach:
V = T8 + T7 + T6 + T5 + T4 + T3 + T2 + T1 = 36 + 28 + 21 + 15 + 10 +6 + 3 + 1 = 120
Liczby trójkątne są z pozoru mało ciekawe i mało przydatne. Jeśli chodzi o tę drugą kwestię (tj. przydatności), to dość często zdarza się (w matematyce częściej niż w innych naukach), że zastosowania przychodzą niespodzianie. Najbardziej pouczająca jest historia zastosowania teorii liczb (w szczególności liczb pierwszych) do konstrukcji szyfrów, co z kolei jest podstawą teorii podpisu elektronicznego.
Odnosimy się (my, matematycy) z pewną estymą do twierdzenia, że każda liczba jest sumą co najwyżej trzech liczb trójkątnych. Na przykład:
2017 = 2016 + 1 = T63 + T1,
2018 = 2016 + 2 = T63 + T1 + T1,
2019 = 2016 + 3 = T63 + T2,
2020 = 2016 + 4 = T63 + T2 + T1,
2021 = 1830 + 190 = T60 + T19,
2022 = 1830 + 190 + 1 = T60 + T19 + T1,
2023 = 2016 + 6 + 1 = T63 + T3 + T1,
2024 = 1891 + 78 + 55 = T61 + T12 + T10.
Ten drobny fakt odegrał bowiem dużą rolę w historii matematyki. 24 kwietnia 1796 roku siedemnastoletni wówczas Karol Fryderyk Gauss zapisał w swoim pamiętniku: EYPHKA! Num = , co znaczyło właśnie, że odkrył swoje pierwsze prawo: każda liczb naturalna jest sumą trzech liczb trójkątnych.
Zadanie dla Czytelników: ułożyć z klocków zależność T4 T6 = T20 .
I tyle o pociągu do matematyki. Rzeczywiście, u niektórych dzieci to naprawdę jest Pendolino. Co z tego wynika dla nas, nauczycieli? Przypomnijmy sobie, dlaczego Pendolino nie jeździ po wszystkich trasach kolejowych w Polsce? Oczywiste, prawda? Musi mieć specjalne tory. Nie zapominajmy, do jakiego pociągu wsiadają nasi uczniowie.
I jeszcze ciekawostka:
2017 = 282 + 122 + 332, a przy tym 1233 = 122+332.
A na innych zajęciach składaliśmy krzywe fraktalne z klocków LEGO. Lepsze to niż Sudoku. Ale o tym następnym razem.