Pozioma ósemka, czyli po grecku apeiron, po angielsku infinity, po rosyjsku беcконечность, po niemiecku Unendlichkeit, a po polsku nieskończoność (choć lepszym tłumaczeniem byłoby bezkres), fascynuje nas od zawsze
Starożytni Grecy nie umieli sobie dać rady z tym pojęciem i z satysfakcją odnajdywali rozmaite paradoksy z nim związane. Wielu filozofów uważa, że źródłem poglądu o tym, że świat został stworzony według miary, wagi i liczby, jest chęć opanowania, ograniczenia zakresu badanych zjawisk, zamknięcia wszystkiego w bezpiecznym, skończonym świecie. Taką postawę przyjmują często dzieci. Po odkryciu, że można liczyć bez końca, najwyraźniej mówią do siebie: „aha, już wiem; i co z tego, że wiem?” i ograniczają swoje zainteresowanie do tego zakresu liczb, który naprawdę jest warty ogarnięcia intelektem. Bezkresne, otwarte stepy nie dają takiego poczucia bezpieczeństwa, jak zamknięte mury miasta i szczelne granice.
Filozof niemiecki Edmund Husserl (1859 – 1938) utrzymywał, że pojęcie nieskończoności jest czystą negacją, aktem dołączenia partykuły negacji do idei skończonych. Mówił, że nie posiadamy, bo nie możemy posiadać, żadnych idei czy wyobrażeń związanych z nieskończonością. Zgodzi się z tym każdy, kto wprawdzie „rozumie” dowód przeliczalności zbioru liczb wymiernych, ale i tak myśli, że „tak naprawdę” liczb wymiernych jest o wiele więcej niż liczb naturalnych. Zwróćmy jednak uwagę, że nie moglibyśmy posiadać idei skończoności, gdybyśmy nie mogli jej przeciwstawić jej przeciwieństwu. Jest to inaczej ujęta „zasada kontrastowania” (wykład 6, tom 3, str. 23).
Nieskończoność nie jest dziś dla żadnego matematyka czymś nadzwyczajnym. Ot, jeszcze jedna stała, jeszcze jeden symbol, pojęcie – istniejące jak każde inne. Możemy nieskończoność ogarnąć intelektem, ale być może nie może jej pojąć rozum. Nawiązuję tu do znanego rozróżnienia Immanuela Kanta. Rozumu nie można mieszać z intelektem. Rozum to zdolność myślenia. Intelekt to zdolność poznania. Intelekt ujmuje, opracowuje, przetwarza, systematyzuje i klasyfikuje to, co jest w zmysłach. Rozum stara się zrozumieć sens. W poznaniu dążymy do poznania prawdy, w myśleniu do poznania znaczenia. Od czasów Oświecenia wierzymy w postęp określany jako nieograniczone poznanie, jako bezustanne dążenie do prawdy. Nowe odkrycia pokazują, że „stare” prawdy były tylko gorszą aproksymacją…. jakiejś prawdy ostatecznej. O takiej prawdzie przyrodnicy, a nawet matematycy nie chcą nawet dyskutować, bo wykracza to poza
zakres ich zainteresowań. Newton odkrył wzory matematyczne, bardzo dobrze opisujące zachowanie się ciał w polu grawitacyjnym. Ale nie przyczyniło się to w najmniejszym stopniu do zrozumienia, czym jest grawitacja. Fizyków zresztą to nie obchodzi. Pytanie „czym jest grawitacja” nie jest w tym sensie naukowe. Ciekawie, choć nieco zawile, ujmuje to Hannah Arendt, pisząc, że pytanie o znaczenie jest „pozbawione znaczenia” dla zdrowego rozsądku i rozumowania zdroworozsądkowego, ponieważ to do szóstego zmysłu należy dostosowanie nas do świata zjawisk i wprowadzenie nas do świata danego przez naszych pięć zmysłów; jesteśmy w tym świecie i żadne pytania nie muszą być stawiane.
W latach siedemdziesiątych i osiemdziesiątych XX wieku dyskutowano dużo o tak zwanej zasadzie antropicznej. Fizycy, kosmologowie i filozofowie próbowali sobie wyobrazić, jak by to było na świecie, gdyby stała grawitacji była trochę inna, gdyby prędkość światła była nieco mniejsza albo nieco większa, gdyby Ziemia była dalej od Słońca, gdyby, gdyby… Bardzo szybko wszyscy doszli do wniosku, że – pozwolę sobie na odrobinę ironii – jest to tak, jak z wąsami u cioci (jak wiadomo, ciocia + wąsy = wujaszek). Konkretnie: gdyby stałe kosmologiczne były choć trochę inne, nas by nie było w ogóle i pytania nie miałby kto postawić. Może jakieś inne życie by było. Ale nie byli by to ludzie. Zatem dla ludzkości takie gdybanie jest bezsensowne. Uściślimy: nie jest to pytanie naukowe. Nie jest o faktach, które docierają do nas przez nasze własne „urządzenia wejścia-wyjścia”.
Przeświadczenie, że rozumowanie matematyczne jest wzorcem wszelkich rozumowań, pochodzi od Pitagorasa i dobrze zapisało się w historii ludzkości. Było jednym ze źródeł „dyktatu rozumu”. Już starożytni Grecy zauważyli – a liczni mądrzy ludzie w ciągu dziejów potwierdzali – że prawdzie towarzyszy zdolność narzucania się ludziom jako konieczność, że prawda zawsze zwycięży. Oliwa sprawiedliwa – chociaż nieżywa, zawsze na wierzch wypływa.
W klasycznym , najbardziej znanym dowodzie nieskończoności zbioru liczb pierwszych, jest bardzo ładne rozumowanie niewprost. Przypomnę je w sms-owym skrócie. Gdyby liczb pierwszych było tylko skończenie wiele, to ich iloczyn powiększony o jedynkę byłby nową liczbą pierwszą, nie figurującą na tej liście.
Dowód drugi, który tu zaprezentuję, polega na wykazaniu przez indukcję, że iloczyn kolejnych liczb Fermata, to jest liczb postaci jest równy następnej liczbie Fermata zmniejszonej o 2 (skąd wynika, że wszystkie liczby Fermata są względnie pierwsze) .
Twierdzenie. Jeżeli ciąg Fn jest określony wzorem
(a zatem jego początkowymi wyrazami są 3, 5, 17, 257, 65537, 4294967297, 18446744073709551617,…) , to .
Dowód. Możemy zacząć indukcję od n = 1. Iloczyn po lewej stronie równości redukuje się do jednego czynnika 3, a prawa strona jest równa 5 – 2, czyli też 3. Załóżmy, że wzór jest prawdziwy dla pewnego n ≥ 1. Zatem
Założenie indukcyjne mówi, że Zatem prawa strona powyższej równości jest równa
, co należało wykazać.
Z tego twierdzenia wynika, że dowolne dwie różne liczby Fermata są względnie pierwsze. Istotnie, wszystkie te liczby są nieparzyste, zatem 2 nie jest czynnikiem pierwszym żadnej z nich. Gdyby zatem pewne dwie różne liczby Fermata Fn i Fm miały wspólny czynnik pierwszy p > 2, to – przyjmując m > n – mielibyśmy i lewa strona równości byłaby liczbą podzielną przez p, a strona prawa nie.
Ponieważ liczb postaci jest nieskończenie wiele, musi być nieskończenie wiele ich czynników pierwszych. Liczb pierwszych musi być zatem nieskończenie wiele.
A oto dowód topologiczny nieskończoności zbioru liczb pierwszych. Zasadniczą rolę grają w nim nieskończone ciągi arytmetyczne (bez początku i końca). Można je przyjąć za zbiory otwarte (a także domknięte) pewnej topologii. W książce Dowody z księgi jest to piękne zilustrowane. Na brzegu oceanu stoi chłopiec i puszcza kaczki. „Do nieskończoności”, głosi podpis.
W zbiorze liczb całkowitych Z wprowadzamy następującą topologię: za zbiory otwarte uznajemy zbiór pusty oraz zbiory, spełniające warunek: jeżeli a Î U , to istnieje liczba b taka, że zbiór
Na, b = { a + b·n : n Î Z }
jest zawarty w U. Takie zbiory to ciągi arytmetyczne bez początku i końca o zerowym wyrazie a i różnicy b. Stąd ta parabola o puszczaniu kaczek w nieskończoność.
Zbiór wszystkich liczb całkowitych Z jest otwarty, jako równy Na, 1 dla dowolnego a. Jest jasne, że suma dowolnie wielu zbiorów postaci Na,,p (przy ustalonym a) jest też tej postaci. Część wspólna dwóch zbiorów otwartych jest też otwarta; wynika to z zawierania
Oczywiście każdy zbiór Na, p jest nieskończony, a zatem każdy niepusty zbiór otwarty jest nieskończony. Wykażemy, że każdy zbiór Na, p jest też domknięty. W tym celu rozważmy jego dopełnienie Z \ Na,b . Jest to zbiór otwarty, bo jest sumą zbiorów otwartych:
Na przykład N3,5 to liczby dające przy dzieleniu przez 5 resztę 3; jego dopełnienie to liczby dające pozostałe reszty.
Zatem Na, b jest uzupełnieniem zbioru otwartego, jest więc domknięty. Nasza topologia w zbiorze Z jest zatem dość dziwna: jest w niej bardzo wiele zbiorów, które są jednocześnie otwarte i domknięte. Pamiętamy, że w spójnej przestrzeni topologicznej jedynymi zbiorami, które są jednocześnie otwarte i domknięte, są zbiór pusty i cała przestrzeń.
Aby wykazać, że zbiór liczb pierwszych jest nieskończony, przywołamy fakt, że każda liczba całkowita różna od 1 i od –1 ma rozkład na czynniki pierwsze. Gdyby liczb pierwszych było tylko skończenie wiele, to zbiór Z \ {-1, 1} byłby sumą skończonej liczby zbiorów domkniętych N0, p , gdzie p jest liczbą pierwszą. Zatem zbiór Z \ {-1, 1} byłby domknięty, a wobec tego zbiór dwuelementowy {-1, 1} byłby otwarty. Zbiór ten nie zawiera jednak żadnego nieskończonego ciągu arytmetycznego, co kończy dowód.
* * *
Dlaczego uznaję ten dowód za „metafizyczny”? Odpowiem parabolą. Mam takich znajomych, których widzę raz na kilka lat – i za każdym razem mam wrażenie, że rozstaliśmy się wczoraj!
*Hannah Arendt Myślenie. Przekł. Hanna Buczyńska-Garewicz. Czytelnik, Warszawa 2002.
- Artykuł pochodzi z rozdziału „Matematyka z oddali” z książki „O nauczaniu matematyki. Wykłady dla nauczycieli i studentów. Tom 8” autorstwa prof. Michała Szurka, wydanej przez Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe