Leszek Kołakowski pisze, że trudno mu pisać o matematyce, bo nie tkwi w niej, nie zajmuje się nią nawet półzawodowo. Równie trudno było autorowi tej książki pisać o matematyce z pozycji zewnętrznego obserwatora.
Wymagało to swoistego „wyjścia z siebie”, spojrzenia na to, w czego środku tkwi się od lat, z zupełnie innej strony. Przypomina mi się tu fragment książki Wyprawa Kon-Tiki Thora Heyerdahla. Gdy członkowie ekspedycji, płynący malutką łódką z drewna balsa z Ameryki Południowej do Australii, odpłynęli na środku oceanu na kilkanaście metrów od łódki, wydała im się nieprawdopodobna, zabawna i irracjonalna – a w każdym razie zupełnie inna niż na co dzień. Podobnie i z „moją” matematyką – ale ogląd z zewnątrz często ułatwia wniknięcie do środka.Pokażę przykłady zagadnień, w których – jestem przekonany – pojawia się owa tajemnicza metafizyczna siła przyciągająca nas do matematyki.
Oto jedno z najnowszych odkryć w teorii liczb. Spektakularne, bo i temat prosty, i problem stał otwarty blisko 100 lat, a odpowiedź może nas przerazić, wywołać lęk metafizyczny.
Zawsze fascynowała nas tajemnica rozmieszczenia liczb pierwszych na osi liczbowej: ta nieregularność, niechętnie poddająca się ścisłym opisom. Wystarczy przypomnieć, że „od czasu do czasu” pojawiają się na osi liczbowej liczby pierwsze różniące się najmniej jak tylko można: o dwa (nie licząc jedynej pary 2, 3). To liczby bliźniacze. W 1919 roku Norweg Brun wykazał, że jeżeli jest ich nieskończenie wiele, to leżą rzadko: szereg ich odwrotności jest zbieżny.
Bywa, że kilka(naście) liczb pierwszych tworzy ciąg arytmetyczny. W 1923 roku Godfrey Harold Hardy i John Edensor Littlewood postawili hipotezę, że nie jest to bardzo rzadki przypadek, a mianowicie, że liczba ciągów arytmetycznych długości k złożonych z liczb pierwszych nie większych niż N jest asymptotycznie równa CkN²/logk N², gdzie Ck jest pewną stałą zależną od k (pamiętamy, że funkcja y = x²/logk x² jest rosnąca!). Pierwszy znaczący rezultat o ciągach arytmetycznych
złożonych z liczb pierwszych uzyskał w 1939 roku van der Corput. Wykazał on, że jest nieskończenie wiele trójek liczb pierwszych, tworzących ciąg arytmetyczny. Nie licząc kilku trudnych twierdzeń, ale dających tylko częściowe odpowiedzi, do 2004 roku nie było znaczącego wyniku o istnieniu ciągów
arytmetycznych złożonych z liczb pierwszych. W 2004 roku Ben Green i Terence Tao (medalista Fieldsa, 2006 r.) udowodnili, że dla każdej liczby naturalnej k da się znaleźć ciąg arytmetyczny złożony z k liczb pierwszych. Oto przykład takiego ciągu złożonego z 23 liczb pierwszych. Wydruk z programu Mathematica potwierdza, że są to naprawdę liczby pierwsze.
Table [PrimeQ[52611383760397+44546738095860k], {k,0,22}]
{True,True,True,True,True,True,True,True,True,True,True,True,True,True,True,True,True,True,
True,True,True,True,True,}
Twierdzenie jak twierdzenie. Ładne, z ciekawym dowodem (z powołaniem się na teorię ergodyczną), ale co w nim metafizycznego? To mianowicie, że autorzy podali pewne oszacowanie. Jeśli chcesz, Czytelniku, znaleźć ciąg arytmetyczny długości k, nie musisz iść aż do nieskończoności. Wystarczy przeszukać liczby mniejsze niż 2ˆ2ˆ2ˆ2ˆ2ˆ2ˆ2ˆ2ˆ(100k), czyli dwa do potęgi dwa do potęgi dwa do potęgi dwa do potęgi dwa do potęgi dwa do potęgi dwa do potęgi dwa do potęgi 100 razy k.
Nie jest to oszałamiająco duża liczba, owa 2ˆ2ˆ2ˆ2ˆ2ˆ2ˆ2ˆ2ˆ100. Nie możemy wprawdzie powiedzieć, ile ma cyfr, ale obliczając logarytm dziesiętny jej logarytmu dziesiętnego jej logarytmu dziesiętnego jej logarytmu dziesiętnego jej logarytmu dziesiętnego jej logarytmu dziesiętnego, dojdziemy do wniosku, że liczba cyfr liczby cyfr liczby cyfr liczby cyfr liczby cyfr liczby cyfr jej liczby cyfr to około 2¹024, czyli około
179 769 313 486 231 590 772 930 519 078 902 473 361 797 697 894 230 657 273 430
081 157 732 675 805 500 963 132 708 477 322 407 536 021 120 113 879 871 393 357
658 789 768 814 416 622 492 847 430 639 474 124 377 767 893 424 865 485 276 302
219 601 246 094 119 453 082 952 085 005 768 838 150 682 342 462 881 473 913 110
540 827 237 163 350 510 684 586 298 239 947 245 938 479 716 304 835 356 329 624
224 137 216
Prawda, że do nieskończoności … tak samo stąd blisko, jak od jedynki? Czy to jest owa „metafizyczna siła przyciągająca”, o której pisał Kołakowski? Może. Może to tylko jedna z jej składowych.
Bardzo wielkie obiekty skończone mają wiele własności podobnych do własności obiektów nieskończonych. Na przykład podwojenie liczby 2 do potęgi 10241024 jest równe 2 do potęgi 10241024 + 1. Liczba 10241024 ma 3083 cyfry — więc dodanie jedynki do niej „prawie” jej nie zmienia. Z refleksji nad tym, pojawiła się idea rozważania matematyki opartej na naszych aktualnych możliwościach poznawczych. W tej teorii operacje arytmetyczne nie są zawsze określone, bardzo wielkie liczby są „naturalne”, ale nie można ich interpretować jako zbioru jednostek (kropek, kresek, punktów, misiów pluszowych i tak dalej). Ponadto w zbiorze liczb „naturalnych” mogą być „luki” — nie wszystkie napisy to „naturalnie istniejące” liczby.
Taki kierunek w podstawach matematyki nazywany jest aktualizmem. Zdecydowane próby stworzenia takiej matematyki podjął w latach sześćdziesiątych dwudziestego wieku Aleksander Stiepanowicz Jesienin–Wołpin. Podważył on tak niewzruszone prawdy matematyczne, jak na przykład to, że operację „dodaj jeden” można stosować nieskończoną liczbę razy. Wszyscy bowiem wiemy, że następujące rozumowanie jest matematycznie poprawne, ale. . . nic z tego nie wynika. Mianowicie można bez odpoczynku dojść piechotą z Lizbony do Władywostoku. Dowód: pierwszy krok oczywiście łatwo postawić. Jeżeli jednak postawię już dowolną liczbę kroków, to jeszcze jeden mały kroczek na pewno będę w stanie postawić.
Konsekwencją tak pojętego aktualizmu jest też odrzucenie reguły odrywania,
czyli najbardziej podstawowej reguły wnioskowania, wyodrębnionej już w średniowieczu
reguły modus ponens:
Jeżeli prawdziwe jest zdanie α oraz prawdziwa jest implikacja α ⇒ β, to prawdziwe jest też zdanie β.
Można sobie przecież wyobrazić, że długość dowodu formuły α, jak i długość dowodu implikacji α ⇒ β są dostępnymi liczbami naturalnymi, a ich suma już nie.
Wróćmy jeszcze do ogólnej dyskusji o metafizycznej sile przyciągającej. Bardzo pięknie pisał o niej Stanisław Lem (1921–2006) w pochodzącej z 1960 roku powieści Powrót z gwiazd. Stanisław Lem pisał w ogóle tak sugestywnie o naukach ścisłych, że jak sam przyznał, powstała swego rodzaju gmina wyznaniowa jego młodych czytelników, których nakłonił do studiowania astronomii czy matematyki. Nic dziwnego. Oto bowiem55 na Ziemię wraca ekspedycja międzygalaktyczna. Dla jej uczestników trwała ona sześć lat i o tyle się postarzeli.
Ale wskutek efektu relatywistycznego na Ziemi upłynęło 127 lat. Kosmonauci lądują w innym świecie. Narrator powieści, pilot Hal Bregg, poszukuje nostalgicznie tego, co zostało. Nieoczekiwanie spotyka w parku 134-letniego starca, którego pamięta sprzed odlotu jako siedmioletniego chłopca, syna jednego z organizatorów wyprawy. Starzec jest profesorem matematyki. Hal zwierza mu się, że w czasie podróży zaczął studiować matematykę:
Ale chciałem mieć jeszcze coś — własnego. I dopiero czysta matematyka. Nie
miałem nigdy żadnych zdolności matematycznych. Żadnych – oprócz uporu.
(…) I wie pan, dlaczego tak było, z matematyką? Bo ona jest ponad wszystkim.
Rzeczy Abla i Kroneckera są takie dobre dziś, jak przed czterystu laty, i zawsze
tak będzie. Powstają nowe drogi, ale stare dalej prowadzą. Nie zarastają. Tam
jest… wieczność. Tylko matematyka nie obawia się jej. Tam zrozumiałem, jaka
jest ostateczna. I mocna. Nie było nic takiego. I to, że tak ciężko mi szło,
też było dobre. Mordowałem się z tym i kiedy nie mogłem spać, przerabiałem
sobie materiał przerobiony za dnia. (…) To miało dla mnie wartość samozachowawczą.(…)
Teoria mnogości, to, co Mirea i Awerin zrobili z dziedzictwem
Cantora, wie pan. To operowanie wielkościami nadskończonymi, pozaskończonymi,
te kontinua dokładnie rozszczepialne, mocne… to było wspaniałe.
Rozważania o metafizycznej sile przyciągającej będę prowadzić i dalej; ten fragment zakończę testem dla Czytelnika. Czy w przytoczonym zadaniu dostrzegasz ową siłę, Czytelniku, czy. . . zupełnie nie?
Oblicz wartość liczebną wyrażenia*
a(a + n)n²{0,1[2(an)² − 2an² − (a + n)²] −a² −n(a−1)/0,1875n4-a+2n/n³]}
jeżeli a = 3, n = 2.
Nie wiem. Na pewno nie podlegała zupełnie owej sile autorka pewnego zbioru zadań do VII klasy szkoły podstawowej sprzed około 10 lat. Są tam takie słowa: to wyjątkowo wredne, to zajęcie nudne, żmudne i męczące, być może na to zupełnie nie masz ochoty, tego niemiłego spotkania nie pamiętasz. Autorka owa ma też oryginalny pogląd na piękno matematyki. Wynajduje powiedzenie Einsteina, który jakoby miał powiedzieć, że elegancję należy zostawić krawcom i szewcom. I bardzo słusznie, zdaje się dopowiadać autorka: niech uczniowie piszą chaotycznie, krzywo i byle jak, żeby tylko jak najszybciej odwalić tę wyjątkową nudną robotę, jaką jest zajmowanie się matematyką.
*Stanisław Michalski, Nowy zbiór przykładów i zadań algebraicznych wraz z teorią. Wydawnictwo
M. Arcta w Warszawie, Poznań–Lwów–Równe–Lublin–Łódź–Wilno (1922), Drukarnia
R. Kaniewskiego w Warszawie, Nowy Świat 54. Co by dziś zrobili uczniowie nauczycielowi,
gdyby dał im takie zadanie?
- Artykuł pochodzi z rozdziału „Matematyka z oddali” z książki „O nauczaniu matematyki. Wykłady dla nauczycieli i studentów. Tom 8” autorstwa prof. Michała Szurka, wydanej przez Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe