Byłem kiedyś uczestnikiem zażartej dyskusji w poważnym zespole, czy podręcznik szkolny może mieć podtytuł „Matematyka wokół nas”. Najbardziej stanowczy był profesor, reprezentujący naukę odległą od matematyki. Przekonywał gremium, że wokół nas może być fizyka, chemia i biologia, ale nigdy matematyka. Jeżeli kamień spada to fizyka, jeżeli ogień płonie, to chemia, a ćwierkający ptaszek to biologia. Był głuchy na argumenty, że świat nie został przez Pana Boga poszatkowany na odrębne dyscypliny naukowe – że to tylko nasz, ludzki podział.
Ja byłem równie zajadły w tej dyskusji i przywołałem przykład profesora prawa Uniwersytetu Stefana Batorego (czyli wileńskiego, do 1939 r.). Profesor ten zaskakiwał studentów nietypowymi pytaniami. „Jeżeli wejdzie pan na basztę Giedymina i spojrzy w dół, to co pan zobaczy?”. Studenci silili się na opis krajobrazu, a prawidłową odpowiedzią było: „zobaczy pan przedmioty i podmioty stosunków prawnych”. Matematyka jest wokół nas, Panie Profesorze. Trzeba tylko patrzeć.
Chodzę dużo na spacery, zwłaszcza w ostatnich, pandemicznych miesiącach. Mieszkam na przedmieściach Warszawy, po piętnastu minutach jestem już wśród pól. Co prawda, niezbyt malowniczych. Ale to nie szkodzi. Rozmyślam, rozglądam się po okolicy. Szukam matematyki. Sam się zdziwiłem, jak wszędzie jest jej dużo. Trzeba tylko „patrzeć ze zrozumieniem”. Linie, koła, znaki drogowe, linie równoległe, które wydają się zbieżne. Symetrie. Wiosną szukamy foremnych płatków kwiatków, jesienią układamy twierdzenie Pitagorasa z kasztanów. Tworzymy ornamenty. Tematy, tematy, tematy… Numery linii autobusowych. Co jest ciekawego w liczbie 105, tym autobusem często jeżdżę? Jak to co? To iloczyn trzech najmniejszych nieparzystych liczb pierwszych. A 220? – taki autobus jeździ pod moim domem. To wiedziałem już, pacholęciem będąc. Rzekł przecież Pitagoras: ”Przyjaciel to drugi ja – przyjaźń to stosunek liczb 220 i 284”. Nie powiem, o co chodzi – zachęcam do „wygooglania sobie”
Jest do dyskusji, czy tak można zachęcać dzieci do matematyki. Wyobrażam sobie duży opór ze strony pryncypialnie nastawionych dydaktyków, ale i moje stanowisko nie jest sztywne. Wiemy jednak, że nasze wnuki będą pracować w zawodach, których jeszcze nie ma i że my musimy ich do tego przygotować. Jak to zrobić?
Przytoczone przeze mnie przykłady liczbowe są za skomplikowane dla dzieci z niższych klas szkoły podstawowej. Chociaż … jak przez mgłę pamiętam z dzieciństwa, że numery tramwajów miały swoją osobowość. Szóstka była tajemnicza, piętnastka poważna i solidna (pozostała taka do dzisiaj), 27 było figlarne, 29 budziło lęk, w 31 widziałem zapowiedź przyszłości. Miało to konkretne przyczyny, ale nie będę do tego wracał. Może jednak to był zadatek moich zainteresowań matematycznych?
Ale obserwacje geometryczne? Te są przecież dostępne dla dzieci w wieku od lat 5 … do 100.
Zatem konkrety. Na moim osiedlu, rozbudowanym ostatnio w związku z powstającą linią metra, jest dużo nowych samochodów. Zwróciły moją uwagę felgi – a właściwie same kołpaki, czyli plastikowe nakładki na koła. Są niekiedy na nich bardzo interesujące ornamenty. Nie tylko ładne wizualnie, ale da się z nich zrobić ciekawe zadania matematyczne. Co to jest ciekawe zadanie matematyczne? To nie musi być zadanie trudne. Bywają też trudne zadania, które ciekawe wcale nie są. Niektóre zadania praktyczne są ciekawe, inne wcale nie, chociaż są ważne. Trudno tu podać ścisłe kryterium – tu matematyka zbliża się do sztuki. Jedni (tak, ja) śledzili uważnie zeszłoroczny Konkurs Chopinowski, innych „nudzą te opusy”.
Ale popatrzmy na zdjęcia, na kilka zdjęć z kilkudziesięciu, jakie zrobiłem w swojej okolicy. Co najpierw rzuca się w oczy? Coraz bardziej skomplikowane symetrie ornamentów. Znalazłem na swoim warszawskim osiedlu różne symetrie wielokątne. Załączam fotografie. Jak widać, lista ma braki. Widziałem gdzieś szesnastokąt, ale zdjęcie mi się zagubiło. A może Czytelnicy znajdą? Proszę tylko pamiętać, by fotografować tak, żeby nie dało się poznać, czyj to samochód!

Trójkąt (co prawda, to nie felga) Kwadrat (czworokąt)
Pięciokąt

 Sześciokąt
Siedmiokąt w moim Renault Clio Ośmiokąt w Mistubishi mojej córki
Dziewięciokąt (sąsiad z 3 piętra) Dziesięciokąt
Jedenastokąt Dwunastokąt
Trzynastokąt Czternastokąt
Piętnastokąt Osiemnastokąt

Dwudziestokąt

Ornamenty te mają wiele odmian, niekiedy bardzo ładnych i ciekawych matematycznie. Najbardziej różnorodne są felgi, mające w sobie pięciokąt foremny. Pokażę dwa (znalazłem kilkanaście). Na pierwszym zdjęciu poniżej jest samochód pewnych państwa, parkujących nieprzepisowo na łuku alejki. Zwracałem im wiele razy uwagę, ale donosić do straży miejskiej nie będę.


Ciekawe pięciokąty. Znajdziesz inne?

Nic dziwnego – pięciokąt foremny i powstający z niego pentagram (gwiazda pięcioramienna) fascynują nas (=ludzkość) od dwóch i pół tysiąca lat. Występują w sztuce i literaturze. Pełno jest w nim „złotego podziału” – proporcji, która od czasów greckich uchodziła za kanon piękna … aż do dwudziestego wieku, kiedy zaczęliśmy odchodzić od antyku. Pentagram (gwiazda) był symbolem Pitagorejczyków tak, jak ryba symbolem chrześcijan. Nazywany jest różnie. Jedno z nadanych mu określeń w średniowieczu to „klucz Salomona”. Na taki klucz chciał Faust w tragedii Goethego zamknąć swoją pracownię przed Mefistofelesem. W pośpiechu narysował gwiazdkę niestarannie i wysłannik Lucyfera przedostał się przez pozostawioną szparę … i wynikło stąd wiele, wiele kłopotów – również dla Małgorzaty. A współcześnie – wiemy, jak dużo państw ma pięcioramienne gwiazdy na swoich flagach. Spójrzmy na rysunek poniżej – jabłko to taki smaczny owoc!


Moc pentagramu cię urzekła? ( Faust do Mefistofelesa u Goethego )

Co widzi matematyk w takich felgach? Potężną geometrię. Spójrzmy jeszcze raz na felgę samochodu państwa nieprzepisowo parkujących. Narysuj ładnie, uczniu, uczennico, ten deseń na kartce. Pokoloruj. Nie staraj się być zanadto dokładny/a. Fantazjuj. Spójrz, jak to ja zrobiłem.

Patrząc na ten motyw, wymyśliłem zadanie, dość ciekawe z matematycznego punktu widzenia. Ale do takich zadań dorośniesz za kilka lat. Na wszelki wypadek napiszę. Mamy dziesięciokąf foremny ABCDEFGHIJ. Pięć dużych kół ma być stycznych do pięciu widocznych trójkątów równobocznych, a małe koło w środku – styczne do pięciu większych. Jak dobrać promienie i środki tych kół?
Spójrz teraz na trzecią fotografię z początku artykułu (tę, na której jest felga pięciokątna). Zobacz, co ja z tego zrobiłem – nie całkiem dokładnie, ale na pewno ciekawie. Właśnie: nie musi być idealnie to samo, ale ma być ciekawe i „przetworzone artystycznie”. Co znaczy „ciekawe”, co znaczy „przetworzone artystycznie” ? Tego ci nie wytłumaczę. Spróbuj samodzielnie, nawet nie wiedząc, co to znaczy. Zagadnij o to rodziców, nauczyciela. Spójrz jeszcze raz, jak ja to zrobiłem:

A teraz spójrz teraz na inne moje rysunki i postaraj się odnaleźć felgi, do których one posłużyły jako modele. Jeżeli nie znajdziesz, to … nie szkodzi. A może i lepiej. Narysuj własne ornamenty. Zaprojektuj felgi do samochodu, który może … zaprojektujesz w przyszłości…

Wyszedłem na wieczorny spacer. Zobaczyłem taką felgę. Jaka ciekawa geometria!

Kończę. Z tradycyjnych lekcji zachowam zwyczaj „zadawania prac domowych”. Wyjdź na spacer, najlepiej z ojcem lub mamą. Rozglądaj się. Patrz na koła samochodowe. Znajdź ciekawe wzory. Zrób zdjęcia, pamiętając, żeby fotografować tak, żeby nie dało się poznać, czyj to samochód (może dlatego lepiej być z kimś dorosłym!). W razie czego powołajcie się na … mnie, że to zadał wam pewien profesor matematyki. Wróć do domu, zgraj zdjęcia. Narysuj interesujące ornamenty, które zobaczysz na nich. Ale bądź artystą. A może jednak wymyślisz zadanie matematyczne z tym związane?
Nie umiesz? A czy myślisz, że Albert Einstein od razu wszystko umiał?