W „Weselu” Stanisława Wyspiańskiego Pan Młody zadaje retoryczne pytanie: „my jeno znamy połowę wiemy o sobie któż resztę wie? Zaś Carroll V. Newsom pisze: Matematyk powinien odczuć potrzebę wyjaśnienia samego siebie, to jest struktury własnego umysłu. Przekonanie to wpisuje się w ogólniejszą maksymę Cognosco te ipsum (poznaj samego siebie).

Leszek Kołakowski pisze w cytowanym już tu eseju Matematyk i mistyk:

W samej rzeczy, jeśli Bóg jest bytem absolutnym, to również prawdy wieczne matematyki i logiki albo musiały być przezeń arbitralnie zadekretowane, albo też są z nim tożsame. Pozostawiam na boku tradycyjne teologiczne pytanie – nader interesujące zresztą – czy Bóg swobodnie stwarza prawdy matematyczne – tak, iż gdyby zechciał, byłyby one inne niż są – czy znajduje je niejako gotowe, jako reguły absolutnie wiążące. 

Rzeczywiście, konsekwentne wyznawanie mozolnie torującej sobie od średniowiecza  zasady „dyktatu rozumu” doprowadziło wielu filozofów do przekonania, że nawet Bóg nie mógłby spowodować, by dwa razy dwa dawało inny wynik niż cztery. Oto myśl Leibniza, w ujęciu Leszka Kołakowskiego:

Prawdy [matematyczne] nie zostały przez Boga zadekretowane dowolnym jego nakazem, który mógł był być inny, gdyby Bóg zechciał. Nie. Bóg nie mógł sprawić, by liczba 3 pomnożona przez siebie nie dała w wyniku liczby 9. Nie mógł też podać liczby odpowiadającej dokładnie pierwiastkowi kwadratowemu z liczby 2. To są cechy wpisane wiecznie w świat liczb i Bóg sam nie może ich zmienić. Nie znaczy to, że jest on w mocy jakiegoś innego prawodawstwa; te prawdy są identyczne z nim samym, są, by tak rzec, niezmiennym wyposażeniem tegoż ducha, nie zaś tegoż ducha kaprysami.

Nie wyznaje tego poglądu  Hannah Arendt (op. cit.), pisząc „jest to stwierdzenie bardzo wątpliwe, nie tylko dlatego, że stawia Boga pod dyktatem konieczności, ale że zrównuje ewidencję ze zmysłową percepcją. Z tego też powodu Duns Szkot zakwestionował je”.

Jest to zatem dobry moment do zastanowienia się nad dwoistością myślenia matematycznego i inteligencji matematycznej. Z filozoficznego punktu widzenia matematycy są – formalnie – czystymi nominalistami. Zgodnie z tym poglądem filozoficznym, treści wszelkiej wiedzy abstrakcyjnej nie mają innych odpowiedników w rzeczywistości niż obiekty jednostkowe. Rzecz wyczerpuje się w całości swoich cech, nie istnieje „ogólna idea stołu” , a tylko poszczególne stoły. Nawet David Hilbert (1862-1943) mówił o matematyce jako grze, którą rozgrywamy na papierze, posługując się pozbawionymi znaczenia symbolami. Przestrzeń euklidesowa (czy raczej kartezjańska) Rn jest po prostu zbiorem ciągów n-elementowych o wyrazach rzeczywistych i niczym więcej. Możemy oczywiście nakładać na tę przestrzeń dodatkowe struktury. Ale każdy matematyk „wie”, że mędrca szkiełko i oko to trochę za mało nawet do badania wymyślonych przestrzeni. Nawet dla własnego zdrowia psychicznego musimy wierzyć, że badamy obiekty mieszkające w jakimś odległym świecie, ale jednak istniejące. Przypomina to znaną z teorii literatury koncepcję „zawieszenia niewiary”. Leszek Kołakowski pisze: Wiedza tak zwana ścisła bardziej przypomina pod tym względem technikę: matematyk, który może czytać Hilberta, nie musi studiować Euklidesa (jakkolwiek należy sądzić, że trzeba studiować Euklidesa, żeby być Hilbertem; prawdopodobnie na poziomie bardzo syntetyzujących przedsięwzięć, gdzie współdziała mało uchwytny element humanistyczny, wiedza historyczna jest i tutaj potrzebna) C. Northcote Parkinson  pisał, że „nauki ścisłe nie dają człowiekowi nic oprócz samej wiedzy”. Marek Kordos ubolewa że „stawiamy coraz wyraźniej mądrość poza obrębem nauki”.

Już wkrótce wezmę się za siebie, wezmę

się w garść, zrobię porządek w szufladzie,

przemyślę wszystko do końca, zaplombuję zęby,

uzupełnię luki w wykształceniu, zacznę

gimnastykować się co rano, w słowniku

sprawdzę kilka słów, których znaczenie jest dla mnie wciąż niejasne,

więcej spacerów z dziećmi, regularny

tryb życia, odpisywać na listy, pić mleko,

nie rozpraszać się, więcej pracy nad sobą, w ogóle

być sobą, być wreszcie bardziej

sobą,

ale właściwie jak to zrobić, skoro

już,

i od tak dawna, tak bardzo

nim jestem           

                                         Stanisław Barańczak, Już wkrótce

 

Mało który matematyk przyzna się sam do tego, że  badając światy matematyczne, wnika właśnie w strukturę swojego własnego umysłu. „Swojego” w tym samym sensie, w jakim nasze są podarowane nam przedmioty. Mało kto tak myśli na co dzień –  sądzę, że prawie każdy myśli tak, gdy ma chwilę refleksji nad sobą samym.

Wiele refleksji dostarcza historia tak zwanego Wielkiego Twierdzenia Fermata. Pierre de Fermat (1601 – 1665) był prawnikiem, ale zajmował się amatorsko matematyką, głównie teorią liczb. Odkrył sporo ciekawych własności i twierdzeń matematycznych. Najbardziej znany jest jednak ze swojego słynnego dopisku na marginesie czytanej przez siebie książki arytmetycznej. Stwierdził mianowicie (innymi słowami, ale sens był ten sam), że równanie  xn + yn = zn  nie ma rozwiązań w liczbach naturalnych, jeżeli tylko wykładnik n jest większy od 2. Znalazłem zadziwiający dowód tego twierdzenia, ale margines jest za mały, by go pomieścić.

Ów komentarz Fermata pochodzi z około 1660 roku. Od tej pory tysiące amatorów oraz setki bardzo dobrych i wybitnych matematyków próbowało najpierw zrekonstruować ten dowód a potem, gdy było jasne, że Fermat „musiał” się pomylić w swoim rozumowaniu, znaleźć jakikolwiek dowód.  Ernst Kummer poświęcił temu całe swoje naukowe życie. Można powiedzieć, że jednym z najważniejszych źródłem współczesnej algebry były próby zmierzenia się z zagadnieniem Fermata. Od lat siedemdziesiątych XX wieku nabrano przekonania, że cel jest bliski, że jest już otoczony ze wszystkich stron i nareszcie, po ponad 300 latach oblężenia, padnie. Dopiero jednak w 1993 roku Andrew Wiles ogłosił, że znalazł rozwiązanie.  Wiadomość obiegła błyskawicznie naszą globalną wioskę. Po opublikowaniu pracy znaleziono jednak w niektórych dowodach luki, które na szczęście nie okazały się nie do wypełnienia. Po roku pracy Wiles ogłosił poprawione rozwiązanie, które zostało już zaakceptowane przez świat matematyczny. Piszę „świat matematyczny” – a tymczasem specjalistów, którzy potrafią w pełni zrozumieć dowód Wilesa,  jest bardzo niewielu: w Polsce kilka, może kilkanaście osób.

W problemie Fermata mieliśmy do czynienia z bardzo prostym i jednocześnie nieprawdopodobnie trudnym zadaniem. Zagadnieniem, które właściwie nie miało wielkiego znaczenia dla rozwoju matematyki: ot, jeszcze jedno z równań. Ale budziło emocję, grozę i … wywoływało właśnie ten nastrój metafizyczny, nastrój tajemniczości, ale i obcowania z wartościami mistycznymi.  Przemyślmy jeszcze raz cytowane w przypisie na poprzedniej stronie zdanie Pála  Erdősa o Księdze.

Andrew Wiles zaprezentował swój dowód drugiego dnia Kongresu Międzynarodowej Unii Matematycznej  w Berlinie w 2000 roku. Wykład wywołał oczywiście olbrzymi rozgłos i zainteresowanie. Aby zdobyć miejsce w rozsądnej odległości od tablicy, należało zasiąść w sali na dobre trzy kwadranse przed wykładem. Tłum matematyków szczelnie wypełnił całą wolną przestrzeń największej dostępnej auli. Podobno przez godzinę wykładu, gdy wykładowca na chwilę przestawał mówić,  w sali dałoby się słyszeć brzęczenie muchy. Potem wszyscy bili brawo na stojąco i do zsinienia rąk. W ten sposób w symbolicznym roku 2000 zamknęła się historia Wielkiego Twierdzenia Fermata.

Na podobne proste, ale trudne (tak, to nie sprzeczność)  zagadnienia natrafiamy często przy problemach klasyfikacyjnych: możemy coś wyliczyć dla niewielkich wartości niezmienników, a gdy tylko liczby robią się nieco większe – zadanie jest nie do rozwiązania. Dochodzimy nie tyle do granic matematyki, a właśnie do granic naszego umysłu, który nie jest przeznaczony do tak trudnych zadań. Choćbyśmy całe lata trenowali machanie rękami, nie wzbijemy się w powietrze, jak ptaki. Musimy posłużyć się protezami. Jest taki pogląd na ewolucję ludzkości, że gatunek nasz jest wynikiem degeneracji przyrody; człowiek jest pomyłką ewolucji; a cała otoczka cywilizacyjna, z kulturą i nauką włącznie, jest tylko i wyłącznie po to, by pomóc nam w jakiej-takiej adaptacji do warunków, w jakich żyć musimy. Straciliśmy instynkt, jesteśmy coraz gorzej przystosowani do życia i musimy mieć protezy: domy, pojazdy, nawozy sztuczne, …, ale również filozofię, naukę, kulturę i sztukę. Freud nazywał to „sublimacją”.

Wróćmy na chwilę do matematyki. Bourbakiści otwarcie postulowali, że matematyka powinna ujmować zagadnienia w jak największej ogólności. Od własności poszczególnego tworu matematycznego ważniejsze są własności całej ich klasy. Klasa tych klas jest nowym obiektem do zbadania. Często okazywało się, że z takich bardzo ogólnych badań wynikają wnioski dla bardzo „konkretnych”, „przyziemnych” badań. W przedmowie do swojego podręcznika do geometrii, francuski matematyk Jean Dieudonné otwarcie napisał, że czas już zapomnieć o klasycznych, szczegółowych twierdzeniach, jak na przykład okrąg dziewięciu punktów, bo nie wnosi to niczego naprawdę istotnego do skarbnicy wiedzy matematycznej. Zamiast własności szczególnych badajmy ogólne – postulował – na przykład strukturę grupy izometrii.

Przypomnę, że okręgiem dziewięciu punktów (albo okręgiem Feuerbacha) nazywamy okrąg, którego istnienie i podstawowe własności opisuje następującego twierdzenie:

 

W każdym trójkącie następujących dziewięć punktów należy do jednego okręgu: środki boków, spodki wysokości oraz środki odcinków wysokości od ortocentrum do wierzchołków. Okrąg ten jest styczny do okręgu wpisanego i okręgów dopisanych.

 

Trudno się nie zgodzić ze zdecydowanymi poglądami Jeana Dieudonnégo, ale trudno też odmówić walorów poznawczych (o dydaktycznych nie wspomnę, bo to oczywiste) szczegółowemu zagłębianiu się w zakamarki najzwyklejszej geometrii płaszczyzny. Jeżeli nawet nie widzimy niczego interesującego w „okręgu dziewięciu punktów”, to łatwo zmienimy zdanie po choćby tylko pobieżnym zapoznaniu się z jego własnościami, a także konstrukcją odpowiedniej „sfery 3(n+1)  punktów” w przestrzeni euklidesowej wymiaru n.

Być może z prób „zrozumienia samych siebie” wziął się pomysł Harvey’a Friedmana, ogłoszony na Kongresie Matematyków w Vancouver w 1974 roku. W dużym uproszczeniu i z pewną przesadą  można ten program określić jako poszukiwanie źródeł. Mamy dane twierdzenie i szukamy możliwie najsłabszego systemu aksjomatów, z których da się to twierdzenie wyprowadzić. Takie próby częściowo ratują program Hilberta o zupełności matematyki.

 

 

Artykuł pochodzi z rozdziału „Matematyka z oddali” z książki „O nauczaniu matematyki. Wykłady dla nauczycieli i studentów. Tom 8” autorstwa prof. Michała Szurka, wydanej przez Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe

237