Jesień to najpiękniejsza pora roku. Nie ma już roztopów wiosennych, nie dokucza upał ani nie kłują komary. Jest kolorowo (wiosną, owszem, kwitną kolorowe kwiaty, ale przede wszystkim  rozpycha się młoda  zieleń). Wczesną jesienią jeszcze nie jest buro i zimno. No, a grzyby, owoce, ziemniaki prosto z pola do ogniska! Wieczorami zaś można przy kominku … rozwiązywać różne zadania matematyczne.

  1. Pierwsze zadanie to: jakie owoce widzisz na fotografii? Tak, to wszystko są owoce! Wprawdzie niektóre z nich nazwalibyśmy warzywami, ale z punktu widzenia botaniki są to owoce.
  2. Czy umiesz powiedzieć, jaka jest różnica między warzywami i jarzynami? Wyobraź sobie „sałatkę warzywną” i „sałatkę jarzynową”. Czy to to samo?
  3. Następne pytanie: czy wiesz, że każda część rośliny może być wykorzystana w celach kulinarnych? Na pewno podasz przykład liści, łodyg i korzeni, które wykorzystujemy w celach kulinarnych. Najtrudniejsza może być kora. Z jakiego drzewa wykorzystujemy korę? Z drzewa cynamonowego! A jaką częścią rośliny jest okrągły (choć rzadko kulisty) ziemniaczek, tak często obecny na polskim stole?

Dziwisz się na pewno – to mają być zadania matematyczne?  Wiesz, matematyka to nie tylko słupki i trójkąty. Oczywiście trochę tu przesadzam – rozważania, od których zacząłem, rzeczywiście nie należą do głównego nurtu matematyki. Ale matematyka ma zmusić cię do myślenia. Och, wcale nie zmusić! Pokazać ci tylko, jak miło jest coś zrozumieć! Wyobraź sobie jednak, że pochwalisz się tymi wiadomościami koleżance albo koledze. „Skąd ty to wiesz?” zapyta ona albo on. ”A, to było u nas na lekcji matematyki!!!”  „Och, to ja chcę do takiej szkoły, gdzie  t a k  uczy się matematyki!”

  1. Pokaż, gdzie na fotografii są – a raczej ukryły się kwadraty. O koło nie pytam, bo widać je doskonale. To stolik moich rodziców, był w naszym mieszkaniu „od zawsze”. Z mojego punktu widzenia od zawsze.
  2. Jakie widzisz „prostokąty paprykowe”, a może i kwadraty? Domyślasz się na pewno, że idealizuję {co to znaczy: idealizuję?} ten obraz – papryki mają być równiutkimi kołami, każde styczne do sąsiada, a środki ich są tam, gdzie owoc ma ogonek.
  3. Jakie są kąty w  trójkątach PaJPa (papryka – jabłko – papryka). Ile jest takich trójkątów? Pomyśl najpierw, że odpowiedź zależy od tego, jak rozumiesz z pozoru proste pojęcie „takie same trójkąty”!
  4. Jakie kąty mają trójkąty PiJPi (pigwa – jabłko – pigwa). Ile jest takich trójkątów?
  5. Jakie kąty mają rozmaite trójkąty PaPaPa (to znaczy o wierzchołkach w trzech paprykach, a ściślej: o wierzchołkach w nasadach ogonków papryk). To samo dla trójkątów pigwowych.
  6. Przyjmij za jednostkę długości odległość od ogonka papryki do ogonka jabłka. Na tradycyjnej lekcji matematyki będzie to nazywane promieniem koła. Łącząc papryki (dokładniej: nasady ogonków) odcinkami otrzymamy dwunastokąt. Oblicz jego obwód i pole. Może najpierw zadanie łatwiejsze: oblicz obwód i pole sześciokąta pigwowego, przyjmując za jednostkę długości to samo, co dla papryk: odległość między ogonkami tych owoców.
  7. Zamiast grać w jakąś grę komputerową, narysuj moją jesienną kompozycję za pomocą np. Geogebry. Spróbuj oddać jak najwięcej z tych uroków jesieni: dobierz kolory, paprykom zaznacz ogonki. Narysuj też stolik, na którym  to ułożyłem. Podłoga w tle może być już za trudna. Ja kiedyś narysowałem taki szlaczek, muszę teraz go poprawić.

  1. Czy zauważyłeś, że w naturze nie ma niczego jadalnego w jasnoniebieskim kolorze? Chyba każdy inny kolor występuje w jakiejś smacznej roślinie: jabłka są czerwone, zielone i żółte, pomarańcze… pomarańczowe, orzechy brązowe, i … inne, leśne jagody są granatowe, poziomki ciemnoczerwone, a śliwki są … w kolorze śliwkowym. Wymień kolory, które biorą nazwę od roślin. Podpowiem: na przykład cytrynowy. A czy wiesz, dlaczego „czerwiec” nazywa się podobnie jak pewien bardzo dobrze znany kolor?
  2. W jesiennej układance, od której zacząłem, widzisz dwunastokąt foremny. Popatrz, gdzie jeszcze znalazłem takie wielokąty. Na pierwszej fotografii jest  motyw zdobniczy, często spotykany na Podhalu.  Na prawo – okienko w murku okalającym domek w pewnej małej  miejscowości podwarszawskiej. U dołu karty w kolorze, który tradycyjnie po polsku nazywał się „czerwień”, ale nazwa została wyparta przez francuskie „kier”. A jak to się nazywa po angielsku? Zauważ, że każda karta leży tam, gdzie odpowiadająca jej godzina na zegarze. Oczywiście walet to 11, dama to 12, a w pasjansie, do którego jest to układanka, król leży w środku. Pasjans nazywa się zresztą zegar i jest … bardzo matematyczny. O tym na następnej lekcji, …, a może dopiero za kilka lat. Ale, ale … – po prawej u dołu widzisz tarczę zegara, który bił już w domu moich dziadków. To dość dawno temu – a zegar wciąż chodzi. „Nie je nie pije, a chodzi i bije!”. Za dwadzieścia jeden minut będzie bił osiem razy.

A która godzina była na minutę przedtem, zanim zrobiłem to zdjęcie?  (to znaczy wtedy, gdy wskazówki pokrywały się)?

Gdzie jeszcze znajdziesz ciekawe dwunastokąty? Poszukaj.  Która jest godzina na zegarze moich dziadków na fotografii poniżej? Chodzi oczywiście o zadanie: kiedy wskazówki tworzą kąt prosty? Ile jest takich ustawień w ciągu doby? Zadanie trudniejsze (dla licealistów): znajdź wzór na kąt, który tworzą wskazówki zegara o godzinie H minut M. Wskazówka: jak szybko porusza się duża wskazówka względem małej?

Podzieliłem zgrabnie tarczę zegara na trzy części tak, że sumy liczb w każdej części są równe. Czy da się w „ładny” sposób podzielić ją na dwie części o równych sumach? A na cztery albo pięć? A na sześć?

Rozpędziłem się … i oto   zadania dla studentów szkoły wyższej, w której wykładam. Dostaną je jako pracę domową:

  1. Opisz poprzednie zadania za pomocą liczb zespolonych. Niech Pa1 i Pa2 będą dwiema paprykami stycznymi, a M – macierzą obrotu o kąt Pa1JPa2. Wyznacz tę macierz i oblicz jej kolejne potęgi. Jakim przekształceniom odpowiadają?  Wyznacz grupę symetrii dwunastokąta. Podaj jej generatory. Powtórz to samo dla pigw. Po rozwiązaniu możesz zjeść jabłko.

***

Jesień to też kasztany. Może dzieci jeszcze robią ludziki z kasztanów?

A ja ułożyłem … oops, pomyłka…. Ajajaj…., ale nie będę poprawiał. Po lewej miało być 6 razy dwa: sześć rządków po dwa. Wyszło pięć. Ale po prawej jest już dobrze: dwa razy sześć. Czy to nie wszystko jedno? To trochę zależy od punktu widzenia. Jeżeli dzieci idą parami, na przykład po lewej chłopiec, po prawej dziewczynka, to istotnie po lewej stronie mamy sześć par (niby pięć, ale oczami wyobraźni widzimy, że sześć!), a więc sześć razy dwa. Ale matematycy podają taką tabelkę poziomymi wierszami (tak, jak wszyscy czytamy), a więc tabelkę po lewej podadzą jako „dwa na sześć”, a po prawej „sześć na dwa”. To ważne w algebrze.

Jak widać, posłużyłem się komputerem. Bardzo się przydał! Jako … podstawka.

Bawiąc się dalej, ułożyłem trzy po cztery i cztery po trzy. Na fotografii poniżej, po lewej, może się wydawać, że skoro jest to kwadrat o boku 4, to kasztanów jest tam 16. A jest dwanaście, pogrupowane w cztery trójki: każda grupa składa się z narożnika i dwóch „przybocznych”. Skomponuj inne matematyczne układanki z dwunastu kasztanów, orzechów, jabłek, pomidorów, piłeczek, kwadratowych klocków. A może z różnych owoców? Układanka ma być ładna, ale i matematyczna.

A czy umiałbyś/umiałabyś tak ułożyć, żeby było widać, że 42 – 22 = 12 ? Weź pomidory (te, jako czerwone, będą dawać plus) i ziemniaki udające minus.

***

W pierwszej części dużo było o kulinariach. Na deser będzie liczba 12.  Nie byle jaka to liczba. Po prostu podam kilka  przykładów, gdzie ją spotykamy. Znajdź ich więcej. Jest ich … na pewno więcej niż dwanaście.

Dwanaście miesięcy (relikt układu dwunastkowego; do 1971 roku funt brytyjski miał 12 szylingów)  – o godzinach na zegarze już wspomniałem. Inną pozostałością liczenia do dwunastu może być to, że niektórych językach „jedenaście” i „dwanaście” mają swoje własne nazwy, niepodobne do regularnych potem „trzynaście, czternaście” itd. Po angielsku mamy przecież „eleven, twelve, thirteen, etc.” Po niemiecku: „elf, zwölf, dreizehn, usw.”  W językach słowiańskich i romańskich nie ma tego zjawiska: Czech powie: jedenáct dvanáct třináct čtrnáct.

Dwanaście prac Herkulesa. Co to było?

Dwanaście ksiąg Pana Tadeusza. Ostatnią jest „kochajmy się” – hasło niepopularne dziś w pewnych kręgach politycznych naszej Ojczyzny. A tak a propos, gdzie jeszcze u Adama Mickiewicza występuje dwunastka? Nie tylko w Powrocie Taty, ale i na przykład: „Dwanaście krzeseł koło tronu stoi”  (w poemacie Konrad Wallenrod).

Dwunastu apostołów.

Dwanaście potraw wigilijnych.

Dwanaście gwiazdek na fladze Unii Europejskiej.

Dwunastu zawodników w drużynach w siatkówce i koszykówce.

Dwanaście sztuk czegoś to tuzin. Do niedawna jajka kupowało się na tuziny. Zanikła już nazwa gros na określenie dwunastu tuzinów. Jak przez mgłę pamiętam z dzieciństwa mały sklepik papierniczy i pudełko z napisem: „ołówki – 12 grosów”. To ile było tam ołówków?

 

* * *

Odbiegłem od tematów jesiennych. O dwunastościanie foremnym, najpiękniejszej bryle platońskiej – to już nie teraz. Może tylko taki rysunek: dwunastościan z piłeczek, pomalowany przez uczniów – stypendystów Krajowego Funduszu na rzecz Dzieci na warsztatach matematycznych. Dwunastościan ma dwanaście ścian (no, bo ile?, ale będę pamiętał studenta, który nie wiedział, ile ścian ma sześcian!) – i dwadzieścia (tak, 20) wierzchołków. Bryła jest pomalowana cztery kolorami na izometryczne (to znaczy takie same) figury. Spójrz na niebieskie: są tam cztery z pięciu kulek jednej ściany, a piąta jest przyklejona z innej. Takie same są trzy pozostałe układy (piłeczki czerwone, żółte i ukryte z tyłu zielone).

Wcale nie było łatwo zaprojektować taki podział. A może znajdziesz inny, równie ładny? Na przykład na pięć kolorów? Przecież wyznacznikiem jesieni są właśnie kolory!