W tytule artykułu (powstałym z inspiracji Elżbiety Piotrowskiej-Gromniak, pani prezes Zarządu Fundacji Edukacja na NOWO) nie ma błędu: chodzi właśnie o gdymetrię. Co to takiego?
Po pierwsze, jest to pewnego rodzaju geometria, jaką badaliśmy w Gdyni, na warsztatach matematycznych Krajowego Funduszu na rzecz Dzieci, w lutym 2017 roku. Użyty w poprzednim zdaniu zaimek „my” oznaczał: mnie, 25 gimnazjalistów i … kilkunastu rodziców, których zaprosiłem na zajęcia. „Po pierwsze zobaczycie Państwo, czym szpikujemy wasze dzieci. Po drugie, zobaczycie trochę ciekawej matematyki … słucham… mówi pani, że zawsze była kiepska z matematyki? … to świetnie się składa, ma pani teraz okazję ją polubić i to w trakcie zabawy z własnym dzieckiem”.
Druga konotacja z „gdymetrią” to „gdybanie”. Ach, jaki byłby świat, gdyby wszyscy ludzie byli uczynni, dobrzy, mądrzy, wyrozumiali, pilni, życzliwi innym i tak dalej. Jaki byłby świat? Cóż, umiem pracować z obiektami nawet siedemnastowymiarowymi, ale takiego świata nie umiem sobie wyobrazić.
Do rzeczy, czyli do matematyki. Omówię tylko jedno zadanie, a właściwie jeden wąski temat tamtych zajęć.
Drogi Czytelniku! Co widzisz na tej fotografii? Może… koła olimpijskie? Pięć kół w różnych kolorach, symbolizujących pięć zaprzyjaźnionych kontynentów naszej drogiej planety ? Tak?
Brawo! Widzisz to, co … ja chciałem, żebyś zobaczył. Zaprotestujesz, że przecież odpowiedź jest błędna. Na tej fotografii nie ma żadnych kół!
No, to wróćmy do pytania. Czy pytałem, co j e s t ? Nie, pytałem, co widzisz! Między innymi na tym polega matematyka, na tym, żeby „sięgać, gdzie wzrok nie sięga” (stąd ta wzmianka o przestrzeniach siedemnastego wymiaru). Mówiąc mniej górnolotnie, pod wieloma względami nie jest istotne, czy zapętlamy kwadraty, czy kółka. Konstrukcja ta jest wykonana z klocków Lego. I oto pierwsze zadanie:
Mamy do dyspozycji klocki „jednoguziczkowe”, dwu-, trzy- i cztero- .
Zadanie 1. Jak najoszczędniej zbudować nasze kółka? Zakładamy, że klocek kosztuje centów, tyle, ile ma guziczków, ale położenie klocka, niezależnie od jego wielkości, wyceniamy na 1 cent.
Uwaga: Konstrukcja ma być wykonana tak, jak pokazuje fotografia – chodzi o to, że przy mostki mają być ułożone tak właśnie: przy jeździe na każdym kółku ma być zachowana reguła, że tunele i mostki występują na przemian.
Odpowiedzi nie podam – zadanie jest łatwe i nie będę psuć Czytelnikowi przyjemności.
Spójrzmy teraz na nasze „kółka graniaste” inaczej. Czy wyobrażasz sobie wąskie uliczki Starego Miasta w dużej, europejskiej metropolii? Miasta europejskie były budowane na stulecia przed pojawieniem się samochodu i stąd dzisiejsze kłopoty z parkowaniem.
Zadanie 2. Jak najszybciej dojechać z punktu A do X ? Czy droga powrotna zajmie tyle samo czasu? A między punktami C i Z? Jeśli masz cierpliwość, napisz swoisty gps – spis najlepszych połączeń między dwoma danymi punktami. Jeśli nie masz tyle cierpliwości – ogranicz się do kilku wybranych połączeń.
Zadanie 3. W punktach A, B, C, D, X, Y, Z, T są szkoły. Obowiązuje rejonizacja. Każdy uczeń ma chodzić do najbliższej szkoły. Jeżeli z pewnego punktu jest tak samo blisko do dwóch szkół, uczeń jest zapisywany do szkoły o wcześniejszej literze w alfabecie. Stwórz mapę sieci szkolnej w tym mieście.
Zadanie 4 (trudne). Ile potrzeba szkół, żeby żaden uczeń nie miał do szkoły (spacerem) dalej niż n = 7 jednostek odległości (czyli „guziczków”) ?
Zadanie 5 (cykl Hamiltona). Dopuśćmy możliwość skrętu w lewo (fot. 3). Czy można przejechać całe miasto, zaczynając z punktu A tak, żeby przejechać wszystkimi ulicami i każdą tylko raz?
Zadanie 6 (cykl Eulera). Pogotowie świateł ulicznych przeprowadza inspekcję wszystkich skrzyżowań. Czy jest możliwe objechanie wszystkich tak, żeby każde przejechać tylko raz?
Spójrz teraz na fot. 3. Co widzisz? Może wieżę Babel, gdzie Pan Bóg pomieszał ludziom języki? Może sieć połączeń metra w jakimś Megapolis? A może tylko zapętlające się kwadraty?
Zadanie 7. Ile „guziczków” ma ta figura? Jak to sprawnie obliczyć?
Zadanie 8. Czy figura na fot. 3 jest symetryczna? Nie? Ale coś „symetrycznego” w niej jest. Co? Jak to opisać?
Zadanie 9. Na jakie obszary jest podzielona płaszczyzna? Wylicz ich kształty.
Zadanie 10. Nazwijmy obszar bezpiecznym stopnia n, jeżeli do wejścia do niego z zewnątrz trzeba przeskoczyć n płotków ( a mniej nie wystarczy). Pokoloruj obszary według stopnia ich bezpieczeństwa. Dobierz sam kolory.
Zadanie 11. Nazwijmy taką piramidkę (fot. 3) „piramidą olimpijską wysokości 6” . Rozwiąż poprzednie zadania ogólnie, dla piramid rzędu n. A ile „kółek” ma taka piramida?
Zadanie 12. Na „piramidzie olimpijskiej rzędu n” znajdź punkty najbardziej odległe w sensie odległości podanej przy fot. 2.
Wróćmy do fotografii 1. Na niej kolor niebieski to Europa, czarny – Afryka, czerwony – Ameryka, żółty – Azja i zielony: Australia z Oceanią. Czy możesz uzasadnić, dlaczego wybrano takie kolory? Ja dokładnie nie wiem, ale mogę się domyślać. Żółty i czarny są oczywiste. W czasach kiedy powstały te symbole, Europa była jeszcze spokojna, radosna jak niebo, a z kolei młoda zieleń wiosenna mogła się kojarzyć z zielenią Australii. Rosnąca potęga Ameryki nadawała jej czerwony kolor. Czy tak było? Nie wiem. Pofantazjować zawsze można.
***
Drogi Czytelniku, muszę nieskromnie powiedzieć, że zajęcia takie wywołały nie ylko żywy odzew gimnazjalistów, ale i entuzjastyczne opinie rodziców. Zachowywali się, jak tubylcy na planecie w jednym z opowiadań Lema, których Ijon Tichy nauczył, że można chodzić na dwóch nogach, a niekoniecznie na czterech. „O rety, jakie to fajne” wołali. Muszę jednak powiedzieć i drugą, przykrą prawdę: jak podeszli do tych zajęć studenci sekcji pedagogicznej pewnego Uniwersytetu, jak i czynni nauczyciele na konferencjach w kilku miastach średniej wielkości. Studentów nie interesowało nic, patrzyli tępo, jak cielę na malowane wrota, nie wiedzieli nic i nie chcieli wiedzieć, a gdy zadałem „zadanie do domu” (byliśmy skoszarowani w ślicznym ośrodku nad morzem), zrobili „zadanie zastępcze” ułożyli z klocków boisko piłkarskie… Były bramki, piłka, zawodnicy, sędzia i kibice. Wypisz-wymaluj, układanka, jakie tworzyły moje 12-letnie dzieci. Brawo, Studenci. Vivat, Academia, Vivant Profesores. Nauczyciele zaś uprzejmie pytali: „po co nam to, przecież tego nie będziemy uczyć, i w ogóle tego nie ma w podstawie! ”. Na spotkaniu w mieście U. połowa sali wyszła. Przyjąłem to zresztą z pokorą: widocznie przynudzam.

Fot. 4. Jedno z zadań dla studentów sekcji pedagogicznej Uniwersytetu w X, zgrupowanych na trzydniowej Konferencji Naukowej w Y.
Tekst jest już przydługi. Pełniejsze wnioski – może innym razem. Zwierzę się tylko z jednej z obserwacji, którą zrobiłem już na własny użytek wiele lat temu. Jak pisałem, jestem (byłem) nauczycielem akademickim, a więc kimś zainteresowanym matematyką, słuchającym z zainteresowaniem wykładów z różnych dziedzin. Nauczyciele w każdej publikacji szukają tylko tego, co można następnego dnia zastosować na lekcji. Nie jest tylko Wasza wina, drodzy Państwo. Nie dlatego połowa sali w O. wyszła. Wina leży w systemie. To on nakłania Państwa do takiej postawy. Niestety, nie jestem władny, by zmienić system. Zresztą, czy dałbym radę? Krytykować łatwo. To prawda. Równie łatwo wylać dziecko z kąpielą.