Świadek koronny, czyli kilka stwierdzeń na podstawie matematycznej

analizy danych liczbowych zbieranych i prezentowanych przez WHO

Od 14 marca zbieram dane z serwera WHO: „Coronavirus disease (COVID-2019) situation reports”[1]. Z okazji setnego raportu WHO postanowiłem podzielić się swoimi spostrzeżeniami. Dane zbierałem nie tracąc humoru, według prawa wynikającego z filmu „Doktor House”: „Wszyscy kłamią, ale mimo tego da się coś ustalić”.

By pokazać różnorodność przebiegu pandemii i możliwych scenariuszy dla naszego kraju zbierałem dane z: Korei Południowej, Polski, Włoch, Wielkiej Brytanii, Francji, Niemiec, Hiszpanii oraz USA. Ze zrozumiałych względów sytuacja jaka występuje w tych krajach może różnić się od innych ponieważ reakcje zarówno rządów, służb medycznych jak i społeczeństwa różniły się dotychczas i różnić się mogą w przyszłości. Z obawy o wiarygodność nie korzystałem z danych dotyczących Chin. Na państwo, w którym koronawirus wystąpił wcześniej niż w Europie i w USA, wybrałem Koreę Południową.

Z raportów odczytywałem jedynie dane zebrane w postaci tabel o następujących kolumnach:

Poniższy krótki tekst składa się z trzech części oraz podsumowania.

W pierwszej (p.t. Wybuch pandemii) przypomniałem dynamikę rozwoju pandemii. Sześć wykresów obrazuje jak w ciągu półtora miesiąca zmieniło się postrzeganie koronawirusa. Stanowi to niewątpliwą przestrogę, jak w bardzo krótkim czasie na terenie, gdzie niema pandemii lub jest opanowana, może nastąpić jej eksplozja. W porównaniu z epidemią HIV obecnie jest dużo mniej czasu na naukę i edukację – dwa podstawowe czynniki hamujące rozchodzenie się zakażeń wirusowych.

Czasami w danych przedstawionych przez WHO były błędy przypadkowe, tych nie korygowałem. W drugiej części stwierdziłem i próbowałem skorygować błąd systematyczny wynikający z niedoszacowania liczby zarażonych osób oraz prezentować rezultaty na 1 milion mieszkańców. Po korekcie w Polsce jeden zarażony przypada na około 800 mieszkańców, w Niemczech na 140 osób, a w Hiszpanii, Wielkiej Brytanii, Francji jeden na 20-30. W USA jeden na 60. Zatem Polacy, tak jak Niemcy, mają czas na doskonalenie nie tylko systemu pomocy medycznej, ale również wdrażania odpowiednich systemów kształcenia w szkołach i na uczelniach.

Tak jak większość osób odbierających komunikaty medialne starałem się odpowiedzieć na pytanie: co dalej. Lektura tych kilku stron zapewne przekona czytelników, że na razie nie ma na to odpowiedzi. Jednak już wiadomo, że skutki pandemii mogą być tragiczne. W trzeciej części (Groźne oblicze pandemii) przestawiłem udziały procentowe zgonów uznawanych za spowodowane koronawirusem w stosunku do oczekiwanych zgonów wynikłych z innych powodów. W ostatnich 10 dniach w Polsce ten udział jest rzędu 1-2%, w Niemczech – od 5 do 10%. Są jednak kraje, w których co piąte odejście uznawane jest za związane z koronawirusem. A tzw. maksimum było ich dwa razy więcej.

1   Wybuch pandemii COVID-19

Na poniższych 6 wykresach zaprezentowano liczby osób, u których stwierdzono zarażenie koronawirusem od 23 stycznia do 16 kwietnia. Długość przedziału czasowego w każdym z wykresów wynosi dwa tygodnie, tak długo jak zalecana kwarantanna. Osoba udająca się na kwarantannę w jednym przedziale czasowym powracała za dwa tygodnie do innego świata. Dziś w większości wybranych krajów dynamika rozwoju pandemii jest nadal wysoka, ale nie tak duża jak na początku.

Skale poszczególnych wykresów określają pierwsze pojedyncze przypadki osób zarażonych, pierwsze setki przypadków, tysiące, dziesiątki i setki tysięcy. Zestawienia odzwierciedlają dynamikę rozprzestrzeniania się pandemii.

Wykres 1.1. Pierwsze pojedyncze przypadki osób zarażonych od 23 stycznia do 6 lutego

W Korei Południowej liczba chorych zbliża się do 25. Raportowano też ponad 10 pierwszych zachorowań w Niemczech i USA.

Wykres 1.2. Pierwsza setka przypadków w okresie od 6 do 20 lutego

Chociaż w poprzednim okresie liczba zachorowań w USA i Niemczech była porównywalna z liczbą w Korei, to teraz dynamika rozwoju epidemii w Korei jest znacznie większa.

Wykres 1.3. Pierwsze tysiące przypadków w okresie od 20 lutego do 5 marca.

Te wyniki zapewne zaskoczyły wielu obserwatorów. Badania prowadzone w Korei ujawniły kilka tysięcy chorych, które zapewne zaraziły się w poprzednim okresie, a teraz zostały zidentyfikowane dzięki Koreańskim służbom medycznym. Zaskoczeniem był gwałtowny wzrost liczby zidentyfikowanych zarażonych osób we Włoszech, a nie w Niemczech i USA. Zapewne włoskie służby medyczne nie dostrzegły zagrożenia w poprzednich dwóch tygodniach.

Wykres 1.4. Pierwsze dziesiątki tysięcy przypadków w okresie od 5 do 19 marca.

Dzięki intensywnej pracy włoskich służb medycznych zidentyfikowano dziesiątki tysięcy osób zarażonych koronawirusem. Niebezpiecznie wzrosła liczba zachorowań w Hiszpanii. Rezultat uzyskany przez lekarzy i społeczeństwo w Korei napawał nadzieją. Liczba osób zarażonych przestała gwałtownie narastać, tak jakby rozwój epidemii można było zatrzymać.

Wykres 1.5. Pierwsze setki tysięcy stwierdzonych przypadków w okresie od 19 marca do 2 kwietnia.

W ciągu dwóch tygodni lekarze w USA odnaleźli prawie 200 tysięcy chorych. Pandemia w USA wystąpiła miesiąc późnej niż w Korei, ale z uwagi na wielkość USA liczba zarażonych jest bardzo duża i należy sądzić, że ogniska choroby występują w wielu stanach. Dalej wzrasta gwałtownie liczba chorych we Włoszech oraz w Hiszpanii, Niemczech, Francji, oraz Wielkiej Brytanii. Przy czym dynamika wzrostu największa jest w Hiszpanii, co sugeruje na lekceważącą postawę hiszpańskiego rządu i społeczeństwa w obliczu już występującej epidemii. Stosunkowo mało osób zarażonych stwierdzono w Wielkiej Brytanii, ale jak pamiętamy, premier tego rządu postanowił „iść na zderzenie z wirusem”.

16 kwietnia w USA stwierdzono ponad pół miliona zarażonych. Zatem linia przedstawiająca sytuację w USA „znika” z wykresu 1.5 dopasowanego do danych w pozostałych siedmiu państwach. Niewielka liczba osób, u których stwierdzono zarażenie COVID-19 jest tylko w Polsce i w Korei. W wybranych 6 państwach europejskich liczba stwierdzonych przypadków wzrasta systematycznie. Największa dynamika jest w Wielkiej Brytanii.

Wykres 1.6. Szósty dwutygodniowy okres analiz w ośmiu wybranych krajach

Powyższe 6 wykresów odzwierciedla nieprzetworzone wartości liczbowe, tak jak były pokazywane prze WHO i powielane w mediach. Stosunkowo dobrze prezentują medialny klimat wybuchu epidemii, ale ten obraz jest mocno zniekształcony. Rzeczywistość była inna.

 

2   Za radą dr House’a

Powyżej przedstawiona metoda za pomocą sześciu dwutygodniowych okresów  tylko w pierwszym przybliżeniu ilustruje rozwój pandemii.

By lepiej przedstawić jej początki należy:

  1. uwzględnić wielkość kraju, m.in. by porównać sytuacje w USA z wybranymi krajami europejskimi i Koreą.
  2. oszacować i skorygować błąd systematyczny występujący w zbieraniu danych o liczbie zarażonych osób wynikający z ograniczonych możliwości służb medycznych.

2.1    Uwzględnienie wielkości kraju

Wykres 2.1. Liczba osób u których stwierdzono zarażenie COVID-19 w wybranych 8 państwach (w przeliczeniu na 1 milion mieszkańców).

Z wykresu 2.1 wyraźnie widać, że najtrudniejsza sytuacja jest w Hiszpanii. Chociaż ostatnio dokonano tam korekty danych. Największą dynamikę mają zależności zebrane dla Wielkiej Brytanii oraz USA.

2.2     Korekta błędu systematycznego zbieranych danych

Dane raportowane przez poszczególne kraje obarczone są błędem wynikającym z ograniczonych możliwości służb medycznych.

Gdy u coraz większej liczby osób stwierdza się zarażenie koronawirusem, coraz więcej osób wymaga hospitalizacji i kwarantanny, brakuje środków na przebadanie coraz większej  grupy osób nie posiadających objawów, ale zarażonych.

Jak wynika z wykresów 1.6. liczba osób, u których stwierdzono zarażenie wirusem w ciągu tygodnia była rzędu kilkudziesięciu tysięcy. W tak krytycznej sytuacji testy mogą być przeprowadzane głównie osobom chorym i hospitalizowanym. Ze zrozumiałych względów w tej grupie śmiertelność tzw. pozorna (β) jest znacznie większa niż, gdy badamy grupę reprezentatywną w danym kraju i z tej grupy wyłaniamy osoby chore (śmiertelność α). Wraz z rozwojem epidemii i coraz większego obciążenia służb medycznych wartość β (pozornej śmiertelności) stale rośnie. W Korei Południowej do 2%, w Polsce i USA do 5%, we Francji do prawie 20%. Wyniki obliczeń dla wybranych krajów przedstawiono w tabeli 2.1

Tabela 2.1 Relacja (β) liczby zgonów do liczby osób, u których stwierdzono zarażenie koronawirusem na dzień 1 maja w wybranych krajach.

Wielu epidemiologów przyjmuje wartość α = 1%. Tak też przyjęto w dalszych obliczeniach. Im relacja β/α jest większa, tym bardziej zaniżona jest liczba osób zarażonych.

Z tabeli 2.1. wyraźnie widać, że jeżeli prawidłowo określono przyczyny zgonów w poszczególnych krajach, to liczba osób zarażonych koronawirusem w Korei, Niemczech Polsce i USA może być kilkakrotnie za mała, natomiast w Hiszpanii, Francji, Włoszech i Wielkiej Brytanii nawet o kilkanaście.

Poniżej przedstawiono wykres zależność liczby osób zarażonych koronawirusem skorygowany na wartość relacji (β/α).

Wykres 2.2. Liczba osób, u których stwierdzono zarażenie COVID-19 w wybranych 8 państwach (w przeliczeniu na 1 milion mieszkańców) skorygowana ze względu na niższą sprawność służb w wyznaczaniu osób zarażonych koronawirusem.

W poniższej tabeli podano wartości skorygowaną liczbę osób zarażonych w przeliczeniu na milion mieszkańców.

Tabela 2.2 Skorygowany udział osób, u których stwierdzono zarażanie koronawirusem na milion mieszkańców w wybranych krajach (na dzień 1 maja).

Dzięki aproksymacji liniowej na podstawie zależności przedstawionych powyżej można przewidzieć, że w czerwcu udział osób zarażonych przekroczy próg 10% w takich krajach jak: Włochy, Wielka Brytania, Hiszpania i Francja. Pandemia w tych krajach może zmierzać do sytuacji określanej jako zbiorowa odporność.

W USA, Niemczech i Polsce możliwy  jest również inny scenariusz, znany z Korei Południowej, ale dziś można oszacować, że wraz z rozpoczęciem roku szkolnego/akademickiego co piąty uczeń i uczennica / student i studentka będzie zarażona koronawirusem.

3   Groźne oblicze pandemii

Na podstawie danych zawartych na stronie WHO można też dostrzec groźne oblicze pandemii wyznaczając relację liczby zgonów uznawanych za spowodowane koronawirusem do naturalnej liczby zgonów (wynikających ze średniego trwania życia). Niezależnie od wątpliwości w tego rodzaju podziale dane zmuszają do refleksji.

Wykres 3.1. Relacja liczby zgonów uznawanych za spowodowane koronawirusem do naturalnej liczby zgonów (wynikających ze średniego trwania życia) w Korei Południowej.

Z danych z Korei Południowej wynika, że epidemia w tym kraju w porównaniu z innymi miała dużo mniej dramatyczny charakter.

Wykres 3.2. Relacja liczby zgonów uznawanych za spowodowane koronawirusem do naturalnej liczby zgonów (wynikających ze średniego trwania życia) w Polsce.

Wielkości opisujące dramatyzm pandemii w Polsce są znacznie większe od tych w Korei Południowej, ale nie wzrastają gwałtownie. Jest to wyraźne wyzwanie dla społeczeństwa i czynników rządowych, by nadal skutecznie powstrzymywać rozwój pandemii.

Wykres 3.3. Relacja liczby zgonów uznawanych za spowodowane koronawirusem do naturalnej liczby zgonów (wynikających ze średniego trwania życia) w Niemczech.

Przebieg pandemii w Niemczech jest groźniejsza niż w Polsce, ale jej skutki wydają się być efektywnie ograniczane – nie wzrastają gwałtownie. Sytuację w innych krajach przedstawiono w tabeli 3.1.

Tabela 3.1 Wartości udziału zgonów uznawanych za spowodowanych koronawirusem względem średniej wartości spodziewanych zgonów wynikłych z długości życia. Wartości uśrednione w okresie dziesięciu dni od 21.04 do 1.05.  Dodatkowo tak samo wyznaczone udziały dla najbardziej ekstremalnych 10-dniowych okresów pandemii. Dla każdego kraju okres ten mógł być inny.

*) Wartość bez korekty z 30-04 (Raport WHO nr 101).

W powyższej tabeli wyraźnie widać dramatyzm aktualnej sytuacji (od 21.04 do 1.05) w Wielkiej Brytanii, Hiszpanii, Włoszech i Francji. Jednak w stosunku do okresu maksymalnej liczby zgonów we wspomnianych krajach sytuacja jest już znacznie lepsza. W Polsce i w USA nie wystąpiło jeszcze maksimum, tak jak to miało miejsce np. w Hiszpanii, gdzie blisko połowa zgonów uznawana była za skutek koronawirusa. Czy to oznacza, że nie dojdziemy do tak ekstremalnej sytuacji i uda się opanować epidemię w podobny sposób jak to zrobiono w Korei Południowej? Na to pytanie trudno dziś dać odpowiedź.

Podsumowanie, czyli co dalej 

Ze zrozumiałych względów czas zamrożenia gospodarki i społeczeństwa określany hasłem: „Chroń życie, pozostań w domu” musi ustąpić ma rzecz „Chroń życie, działaj rozsądnie”. Należy mieć nadzieję, że okres, który mija, wystarczył nie tylko na przestawienie służby zdrowia, ale również naszego codziennego myślenia. Nie jest to proste, ponieważ nasze funkcjonowanie w czasie pandemii różnić się powinno od tego sprzed dwóch miesięcy. W związku z tym jak bardzo odpowiedzialnie podejdziemy do panującej sytuacji w danych liczbowych zawartych w raportach WHO jest jeszcze jedna dla nas informacja: zależność wzrostu liczby osób zarażonych w ciągu ostatnich 10 dni od 21 kwietnia do 1 maja.

Tabela 4.1. Przyrost liczby zarażeń w ciągu 10-dniowego okresu o 21 kwietnia do 1 maja.

Ponad trzydziestoprocentowy wzrost liczby osób zarażonych w Polsce w ciągu ostatnich 10 dni stwarza bardzo duże wyzwanie. Czy nasz kraj będzie nadal przykładem rozsądku władzy i mieszkańców? Widać to będzie już w niedalekiej przyszłości.

Na pewno potrzebujemy zmienić sposób nauczania i uczenia się w szkołach oraz na uczelniach.

                                                                                                           Marek Piotrowski

                                                                                                          Warszawa, 4 maja 2020 r.

 

Podziękowanie

Serdeczne podziękowanie dla mojej żony Klaudii za inspiracje oraz pomysł na tytuł.

Od autora:

Niniejszy tekst powstał jako przykładowe zadanie z matematyki dla studentów wydziałów humanistycznych do ćwiczeń uczących krytycznego myślenia. Chociaż z informacji zwrotnej można sądzić, że artykuł ma też wielu innych odbiorców. Zatem za miesiąc powstanie jego kontynuacja.

 

[1] ze strony: https://www.who.int/emergencies/diseases/novel-coronavirus-2019/situation-reports