prof. Michał Szurek

Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego

 

Najłatwiej dzielić, gdy … się dobrze dzieli. 100 złotych na czterech, piętnaście bułek na pięciu głodnych,  sześć jachtów pełnomorskich między trójkę dzieci, litr wina na siedem i tak dalej. Mógł też król Dolko podzielić sprawiedliwie między trzech synów posiadany płat skóry zdartej z pogan (rys. 1). Każdy dostał prostokątny pas jednakowych rozmiarów.

 

Łatwo dzielić sprawiedliwie rzeczy jednorodne, to jest takie, w których równe części mają równe wartości, choćby w przybliżeniu. Tak mogę podzielić zupę na obiad rodzinny  czy jajecznicę na śniadanie, ale drobne kłopoty zaczną się przy pizzy albo torcie. Problem jest w  niedokładności  obiektywnego wyznaczenia dokładnie jednej n-tej części, gdy w grę wchodzi n osób.  W jednym kawałku pizzy może być więcej oliwek ( i to może być zaletą albo wadą w zależności od tego, czy lubimy oliwki, czy ich nie znosimy) , przy krojeniu tortu nóż zbacza zawsze z prostej linii i tak dalej.  Polski matematyk, Hugo Steinhaus rozwiązał problem sprawiedliwego podziału w taki oto sposób. Jest on oparty na subiektywnej ocenie części dzielonej całości. Zapewnia, że każdy otrzymuje co najmniej tyle, ile sam uważa za część odpowiednio wielką dla siebie. Co najmniej, ale  być może więcej. Jak to jest możliwe, żeby każdy miał więcej? Niech obiektem do podziału będzie tort. Losowo wybrana osoba numer 1  odcina dla siebie jedną n-tą. Każda z następnych osób ma prawo tę część zmniejszyć, jeżeli uważa, że jest za duża. Nóż wędruje do kolejnych osób. Gdy wraca do ręki pierwszego, zatrzymujemy się i ustalamy, kto ostatni zmniejszył kawałek, to jest odciął z niej choćby drobną część.  Tej osobie przypada dany kawałek, już po poprawkach.  Łatwo przekonać się, że jest to podział, zapewniający każdemu co najmniej tyle samo, ile by sam chciał. Ostatnia osoba otrzymuje bowiem dokładnie jedną ntą według własnej oceny całości. Pozostali uważają, że ta osoba wzięła mniej niż jej się należało (skoro odcięła ich subiektywną jedną ntą), zatem dla nich do podziału jest więcej niż by się należało. Teraz  nóż bierze następna osoba i odcina sobie część  1/(n-1). Procedura się powtarza; matematyk powie: indukcyjnie, informatyk: rekurencyjnie.

Postępowanie to można traktować jako grę między biesiadnikami. Każdy chce zmaksymalizować swoją wygraną. Gra jest zgodna – graczom opłaca się stosować strategię, która jest optymalna dla każdego z nich z osobna. Ruch na swoją niekorzyść jest natychmiast konsumowany przez współgrających, a próba wyłudzenia nienależnych korzyści spotyka się od razu z ich reakcją.

Można ten sposób zmodyfikować do ugody w sprawie podziału posiadłości szefa obalonego marionetkowego rządu w państewku afrykańskim. Każdy z trzech generałów, do tej pory współpracujących ze sobą w celu obalenia dyktatury, chce jedną trzecią posiadłości, okolonej wysokim płotem, ale nieregularnej. Części są nierównomierne: w jednej jest więcej lasów, w innym wznosi się pałac a w jeszcze innej wspaniała przystań, słynąca na całe wybrzeże. Jedyne, do czego mają się umówić  spiskowcy to to, że linie podziału mają być narysowane w ustalonym kierunku.

Jeśli generałów jest trzech: Anake, Banake i Czanake, to narysują linie podziału  jak na rysunku   2  , to rozjemca poprowadzi dwie linie czerwone. Jedną wzdłuż linii podziału B, drugą w połowie  podziału CB po prawej stronie. Część lewa (zachodnia) przypadnie A, środkowa C, wschodnia B. Podział ten jest o tyle interesujący, że każdy dostał więcej niż jedną trzecią całości, według własnej, subiektywnej wyceny. Czyż to nie piękne?

Rys. 2

Można zarzucić temu sposobowi, że za bardzo zależy od adwokata-rozjemcy, który robi ostateczne kreski na mapie. Ale temu łatwo zaradzić. Należy wprowadzić zasadę, że część położoną najbardziej na zachód bierze ten, czyja linia jest najbardziej na zachód. W wypadku pokrywania się linii rozstrzyga losowanie. Można ten wykazać hojność względem tej pierwszej osoby: najbardziej zachodnią linię rysuje się w połowie między dwiema skrajnymi. W ten sposób pierwsza osoba dostaje więcej niż chciała – a pozostałe … też!

Obdarowany nie bierze udziału w dalszej grze. Linie się wyciera i pozostali uczestnicy rysują nowe. Za każdym razem do podziału przystępuje o jedna osoba mniej.

Wrócimy do podziału terytoriów, ale na razie rozpatrzymy przykłady, kiedy mimo niepodzielności pewnych dóbr … można je podzielić tak, że każdy jest zadowolony … w każdym razie powinien. Niech oto czterech synów zmarłego szefa mafii, Alberto, Bernadetto,  Caruso i Donizetti mają podzielić między siebie trzy posiadłości ojca: jedna na Elbie, druga na Capri, trzecia na Sardynii. Posiadłości nie są warte tyle samo – wszyscy zgadzają się, że najlepsza jest ta na Capri, a sardyńska – to tylko duża ferma. Wszyscy zgadzają się, że posiadłości nie można dzielić, a zatem jeden z braci musi dostać od pozostałych odszkodowanie. Jak przeprowadzić procedurę tak, by uniknąć sporów rodzinnych na następne dwa pokolenia?

Należy znowu uwzględnić preferencje rodzinne. Na szczęście Alberto lubi atmosferę wyspy Napoleona, Elby, Bernadetto preferuje Capri, Carusa ciągnie na Sardynię, a Donizetti nie ma wyraźnych preferencji.  Każdy wypisuje własną wycenę posiadłości, powiedzmy w milionach euro:

Bracia różnie wyceniają nie tylko poszczególnie posiadłości, ale i całość spadku. Zasada podziału jest sprawiedliwa: każda posiadłość przypada temu, kto ceni ją najbardziej. A zatem Alberto bierze Elbę, Bernadetto swoją ukochaną Capri,  a na Sardynii gospodarować będzie Caruso. Ile pieniędzy dostanie Donizetti, najmniej przywiązany do ziemi? Obliczmy:

Alberto i Bernadetto wpłacają do wspólnej kasy odpowiednio po 2250 i 6000. Z tego Caruso bierze 500, a Donizetti 4500. Każdy otrzymał jedną czwartą spadku i to według własnej wyceny … a we wspólnej kasie jest jeszcze 3250 (to znaczy 3 miliony 250 tysięcy euro). Ponieważ bracia są zgodni (jak to w mafii), nie mają problemu z uzgodnieniem, na co wydać te pieniądze.

I to jest pewnym rodzajem gry. Kto chce mieć duże szanse na otrzymanie domu, niech wycenia go jak najwyżej, a pozostałe nisko. Kto woli pieniądze, niech wszystko ceni  możliwie wysoko, ale nie za wysoko – tak, żeby być zawsze przelicytowanym. Trzeba też liczyć się z własnymi możliwościami finansowymi. Gdyby Bernadetto wycenił Elbę na 7500, jego ocena spadku wyniosłaby 21000, zatem jego częścią byłoby 5500, a ponieważ zgodnie z regulaminem zabrałby Elbę i Capri, musiałby dopłacić braciom różnicę między 11000 plus 7500 a 5500, czyli 13000. Aby zapobiec takim sytuacjom, należałoby wprowadzić zasadę, że można otrzymać tylko jedno dobro. Wtedy Elba przypadłaby, jak przedtem, dla Alberto, a Bernadetto za swoją chciwość musiałby wpłacić do wspólnej kasy aż o 250 więcej (jedną czwartą zwiększonej wartości Elby według własnej wyceny).

Wróćmy do podziału terytorium. Jakie mogą wyniknąć z tego problemy, wiemy od roku 1138, czyli od testamentu Bolesława Krzywoustego. Jeżeli trzej bracia: Bolko, Lolko i Polko odziedziczą trzy równe co do pola obszary królestwa, jak na rysunku 1, to Bolko i Lolko zaczną po pewnym czasie narzekać, że mają dłuższą granicę zewnętrzną i zatem poświęcają więcej PKB na obronę. Spróbują obalić testament i zaproponują Lolkowi inny podział, jak na rys. 3. Każdy ma tyle samo obszaru, a mianowicie jedną trzecią całości, co łatwo obliczyć, albo przekonać się, odpowiednio kolorując trójkąty mapy.

Prawdopodobnie po pewnym czasie Bolko i Polko znów zaczną się skarżyć, że  Lolko ma bardziej zwarte terytorium – u nich odległość między dwoma skrajnymi punktami jest większa niż u Lolka. Namówią Lolka do poprawki, jak na rysunku 5. Teraz każdy ma tyle samo obszaru i taką samą odległość między skrajnymi punktami księstwa – ważne przy rozsyłaniu wici i zbieraniu pospolitego ruszenia. Ledwie Lolko zaakceptował podział, Bolko i Polko spostrzegli, że naruszono warunek, że każdy ma tę granicę zewnętrzną tej samej długości.  Znowu wezwali Lolka do negocjacji, ale ten odmówił, odsyłając braci do lektury niniejszego numeru Młodego Technika, gdzie w kąciku matematycznym było pokazane, że wszystkim warunkom, nawet rozsądnym, nie da się jednocześnie sprostać. W końcu bracia doszli do wniosku, że najlepiej znowu połączyć się w jedną Unię. Pamiętając o pewnym kraju w Europie, rozżartym kłótniami, wprowadzili natychmiast wspólną walutę, nazywając ją – od wspólnej końcówki ich imion: Olko.

Rys. 3

Rys. 4

Rys. 5

 

Artykuł pochodzi z miesięcznika „Młody Technik” 11/2017